Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa ( ). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilỉrio;
Passo 1
Beleza, a gente tem um problema de movimento harmônico amortecido aqui. Basicamente, temos uma massa de 1 kg presa numa mola com uma constante elástica de . Além disso, o sistema está imerso num líquido que exerce uma força de amortecimento igual a 10 vezes a velocidade da massa. A massa começa do repouso, 1 metro abaixo da posição de equilíbrio. Vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas massa-mola-amortecedor e resolver diferencialmente para achar a posição da massa em qualquer instante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
Aqui:
(massa),
(coeficiente de amortecimento),
(constante da mola),
é a posição em função do tempo .
Substituindo os valores:
Passo 3
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, achamos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais. A massa parte do repouso a 1 metro abaixo da posição de equilíbrio, ou seja:
m (posição inicial),
m/s (velocidade inicial).
Primeiro, aplicando :
Agora, derivamos para achar a velocidade:
Aplicando :
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, dividindo por -2:
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
E substituindo em :
Passo 7
Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral: