Uma massa de 1 kg é atada a uma mola cuja a constante elástica é 16 N / m e o sistema inteiro é submerso em um líquido que oferece uma força de amortecimento (em Newtons) numericamente igual a 10 vezes a velocidade instantânea da massa ( em m / s ). Determine as equações do movimento (i.e. a posição da massa em qualquer instante) quando:
a) a massa parte do repouso a um ponto 1 m abaixo da posição de equilỉrio;

Passo 1

Beleza, a gente tem um problema de movimento harmônico amortecido aqui. Basicamente, temos uma massa de 1 kg presa numa mola com uma constante elástica de . Além disso, o sistema está imerso num líquido que exerce uma força de amortecimento igual a 10 vezes a velocidade da massa. A massa começa do repouso, 1 metro abaixo da posição de equilíbrio. Vamos precisar usar as equações do movimento para sistemas massa-mola-amortecedor e resolver diferencialmente para achar a posição da massa em qualquer instante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação do movimento para um sistema massa-mola-amortecedor. A segunda lei de Newton nos diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração:
m d^2xdt^2 + c dxdt + kx = 0
Aqui:
  • d^2xdt^2 + 10 dxdt + 16x = 0 (massa),
  • (coeficiente de amortecimento),
  • (constante da mola),
  • é a posição em função do tempo .
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, precisamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, achamos as raízes da equação característica associada:
r^2 + 10r + 16 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
r = -10 pm raiz10^2 - 4 cdot 1 cdot 162 = -10 pm raiz100 - 642 = -10 pm 62
Então, as raízes são:
r1 = -10 + 62 = -2
r2 = -10 - 62 = -8

Passo 4

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é:
x(t) = C1 e^-2t + C2 e^-8t
Onde e são constantes que vamos determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais. A massa parte do repouso a 1 metro abaixo da posição de equilíbrio, ou seja:
  1. -1 = C1 + C2 m (posição inicial),
  2. dxdt = -2C1 e^-2t -8C2 e^-8t m/s (velocidade inicial).
Primeiro, aplicando 0 = -2C1 -8C2 :
Agora, derivamos para achar a velocidade:
Aplicando :

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. C1 + 4C2 = 0
  2. 3C2 = 1 Rightarrow C2 = 13
Da segunda equação, dividindo por -2:
C1 = -1 - 13 = -43
Agora temos:
Subtraindo a primeira da segunda:
E substituindo em :

Passo 7

Agora que temos x(t) = -43 e^-2t + 13 e^-8t e , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A equação do movimento da massa é:
x(t) = -43 e^-2t + 13 e^-8t

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