Em um plano , Duas partículas são mantidas fixas no eixo . A partícula 1, de carga , está situada em , e a partícula 2 , de carga , está situada em . A partícula 3 está incialmente no eixo e é liberada, a partir do repouso, no ponto . O valor da carga da partícula 3 é . Determine o valor de para que a aceleração incial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cenário no plano com três partículas:
  • Partícula 1: carga de , localizada em .
  • Partícula 2: carga , localizada em .
  • Partícula 3: carga de , inicialmente em repouso no ponto no eixo .
A pergunta quer saber qual o valor de para que a aceleração inicial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo .
Vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as partículas e entender como elas influenciam a aceleração da partícula 3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica ( ) entre duas cargas é dada por:
Onde:
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as cargas,
  • é a distância entre as cargas.
Essa força é atrativa se as cargas tiverem sinais opostos e repulsiva se tiverem o mesmo sinal.

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças atuando na Part��cula 3:
  1. Força de Coulomb com a Partícula 1 ( ).
  2. Força de Coulomb com a Partícula 2 ( ).
Queremos que a aceleração da Partícula 3 seja para cima no eixo , ou seja, a força resultante na direção deve ser positiva.

Passo 4

Vamos calcular as distâncias entre a Partícula 3 e as Partículas 1 e 2:
  • Distância entre 3 e 1 ( ):
A Partícula 1 está em e a Partícula 3 está em .
  • Distância entre 3 e 2 ( ):
A Partícula 2 está em e a Partícula 3 está em .

Passo 5

Agora, vamos decompor as forças e nas direções e .
A força resultante na direção será a soma das componentes dessas forças:
Onde é o ângulo que cada força faz com o eixo .

Passo 6

Vamos encontrar os ângulos e :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, calculamos as componentes das forças:

Passo 8

Queremos que a aceleração na direção seja positiva, ou seja, . Isso significa:
Substituindo as expressões das forças:

Passo 9

Simplificando as distâncias para metros:
Agora, substituímos na equação:

Passo 10

Resolvendo:
Primeiro, calculamos :
Agora, para :

Passo 11

Agora, a condição :
Para que a aceleração seja positiva, a força de deve compensar qualquer força contrária. Porém, como já é positiva, não há necessidade de cancelar nada, mas para ter certeza de que a força resultante é positiva, precisamos que não seja negativa. Isso implica que deve ter o mesmo sinal das cargas influenciadoras para somar positivamente.

Passo 12

Portanto, para garantir que a aceleração inicial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo , a carga deve ser positiva. Não há um valor mínimo específico além de .

Resposta

Para que a aceleração inicial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo , o valor da carga deve ser positivo, ou seja, .

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