Em um plano x y, Duas partículas são mantidas fixas no eixo x. A partícula 1, de carga 40 mu C, está situada em x=-2,0 cm, e a partícula 2 , de carga Q, está situada em x=3,0 cm. A partícula 3 está incialmente no eixo y e é liberada, a partir do repouso, no ponto y=2,0 cm. O valor da carga da partícula 3 é 20 mu C. Determine o valor de Q para que a aceleração incial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um cenário no plano com três partículas:
  • Partícula 1: carga de , localizada em .
  • Partícula 2: carga , localizada em .
  • Partícula 3: carga de , inicialmente em repouso no ponto no eixo .
A pergunta quer saber qual o valor de para que a aceleração inicial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo .
Vamos precisar usar a Lei de Coulomb para calcular as forças entre as partículas e entender como elas influenciam a aceleração da partícula 3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Coulomb, que nos diz que a força elétrica ( F = k cdot |q1 cdot q2|r^2 ) entre duas cargas é dada por:
Onde:
  • é a constante de Coulomb ( ),
  • e são as cargas,
  • é a distância entre as cargas.
Essa força é atrativa se as cargas tiverem sinais opostos e repulsiva se tiverem o mesmo sinal.

Passo 3

Agora, vamos identificar as forças atuando na Part��cula 3:
  1. Força de Coulomb com a Partícula 1 ( ).
  2. Força de Coulomb com a Partícula 2 ( ).
Queremos que a aceleração da Partícula 3 seja para cima no eixo , ou seja, a força resultante na direção deve ser positiva.

Passo 4

Vamos calcular as distâncias entre a Partícula 3 e as Partículas 1 e 2:
  • Distância entre 3 e 1 ( r31 = raiz(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8,cm = 2raiz2,cm ):
A Partícula 1 está em r32 = raiz(3 - 0)^2 + (0 - 2)^2 = raiz9 + 4 = raiz13,cm e a Partícula 3 está em .
  • Distância entre 3 e 2 ( ):
A Partícula 2 está em e a Partícula 3 está em .

Passo 5

Agora, vamos decompor as forças Fy = F31 cdot sin(theta31) + F32 cdot sin(theta32) e nas direções e .
A força resultante na direção será a soma das componentes dessas forças:
Onde é o ângulo que cada força faz com o eixo .

Passo 6

Vamos encontrar os ângulos tan(theta31) = 22 = 1 Rightarrow theta31 = 45^circ e tan(theta32) = 23 Rightarrow theta32 = arctan(23) :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, calculamos as componentes F31y = F31 cdot sin(45^circ) = F31 cdot raiz22 das forças:
F32y = F32 cdot sin(arctan(23)) = F32 cdot 2raiz13

Passo 8

Queremos que a aceleração na direção F31y + F32y > 0 seja positiva, ou seja, k cdot 40 times 10^-6 cdot 20 times 10^-6(0.02)^2 cdot raiz22 + k cdot |Q| cdot 20 times 10^-6(0.03)^2 + (0.02)^2 cdot 2raiz13 > 0 . Isso significa:
Substituindo as expressões das forças:

Passo 9

Simplificando as distâncias para metros:
r31 = 2raiz2 , cm = 0,02raiz2 , m
r32 = raiz13 , cm = 0,013 , m
Agora, substituímos na equação:
40 times 10^-6 times 20 times 10^-6(0,02raiz2)^2 cdot raiz22 + |Q| times 20 times 10^-60,013^2 cdot 2raiz13 > 0

Passo 10

Resolvendo:
Primeiro, calculamos F31y = 8,99 times 10^9 cdot 40 times 10^-6 times 20 times 10^-6(0,02)^2 times 2 cdot raiz22 = 8,99 times 10^9 cdot 800 times 10^-120,0008 cdot raiz22 :
F31y approx 8,99 times 10^9 cdot 10^-6 cdot 0,7071 approx 63510 , N
F32y = 8,99 times 10^9 cdot |Q| times 20 times 10^-60,000169 cdot 23,6055 = 8,99 times 10^9 cdot 20|Q| times 10^-60,000169 cdot 0,5547
Agora, para F32y approx 8,99 times 10^9 cdot 118518 cdot |Q| times 10^-6 approx 1,066 times 10^6 |Q| :

Passo 11

Agora, a condição 63510 + 1,066 times 10^6 |Q| > 0 :
Para que a aceleração seja positiva, a força de deve compensar qualquer força contrária. Porém, como já é positiva, não há necessidade de cancelar nada, mas para ter certeza de que a força resultante é positiva, precisamos que não seja negativa. Isso implica que deve ter o mesmo sinal das cargas influenciadoras para somar positivamente.

Passo 12

Portanto, para garantir que a aceleração inicial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo , a carga deve ser positiva. Não há um valor mínimo específico além de .

Resposta

Para que a aceleração inicial da partícula 3 seja no sentido positivo do eixo , o valor da carga deve ser positivo, ou seja, .

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