Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas. lim t 1 t^3-tt^2-1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. A gente precisa calcular o limite de uma função quando se aproxima de 1. Isso faz parte do estudo de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos utilizar algumas Propriedades dos Limites, como fatoração e simplificação de expressões algébricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^3 - 11^2 - 1 = 00 na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar tanto o numerador quanto o denominador.
Numerador:
t^3 - t = t(t^2 - 1) = t(t - 1)(t + 1)
Denominador:
t^2 - 1 = (t - 1)(t + 1)

Passo 4

Agora, vamos reescrever a expressão do limite com as fatorações que fizemos:
t(t - 1)(t + 1)(t - 1)(t + 1)
Podemos cancelar os fatores comuns t cancel(t - 1) cancel(t + 1)cancel(t - 1) cancel(t + 1) = t e no numerador e no denominador. Isso é válido porque estamos considerando valores de próximos a 1, mas diferentes de 1, então esses termos não são zero.

Passo 5

Depois de simplificar, a expressão ficou apenas com limt 1 t = 1 . Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é igual a 1.

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