Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite quando tende ao infinito de é igual a . Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e algumas propriedades de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro do limite: . Quando fica muito grande, fica muito pequeno, então vamos analisar o comportamento de quando o argumento é pequeno.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de , pode ser aproximado por . Aplicando isso para , temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:

Passo 5

Simplificando a expressão:
Quando tende ao infinito, e tendem a zero, mas precisamos analisar o comportamento da expressão elevada a .

Passo 6

Reescrevemos a expressão na forma que facilita o cálculo do limite:
Sabemos que tende a quando vai para o infinito.

Passo 7

Analisando o segundo fator, , percebemos que quando é muito grande, é muito pequeno, e podemos aproximar:

Passo 8

Então, juntando as duas partes:

Resposta

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Seja um intervalo fechado com . Mostre que .
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Obtenha a série de Taylor da função , com relação a . Determine seu raio de convergência.
Prove que .