Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite quando
tende ao infinito de
é igual a
. Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e algumas propriedades de funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está dentro do limite:
. Quando
fica muito grande,
fica muito pequeno, então vamos analisar o comportamento de
quando o argumento é pequeno.
Passo 3
Sabemos que, para valores pequenos de
,
pode ser aproximado por
. Aplicando isso para
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Quando
tende ao infinito,
e
tendem a zero, mas precisamos analisar o comportamento da expressão elevada a
.
Passo 6
Reescrevemos a expressão na forma que facilita o cálculo do limite:
Sabemos que
tende a
quando
vai para o infinito.
Passo 7
Analisando o segundo fator,
, percebemos que quando
é muito grande,
é muito pequeno, e podemos aproximar:
Passo 8
Então, juntando as duas partes:
Resposta
Exercícios relacionados
Seja
um intervalo fechado com
. Mostre que
.
Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Obtenha a série de Taylor da função
, com relação a
. Determine seu raio de convergência.
Prove que
.