Prove que lim x infty(x sin 1x+1x)^x=e.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que o limite quando tende ao infinito de é igual a . Vamos usar conhecimentos de cálculo de limites e algumas propriedades de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está dentro do limite: . Quando fica muito grande, fica muito pequeno, então vamos analisar o comportamento de quando o argumento é pequeno.

Passo 3

Sabemos que, para valores pequenos de sin 1x approx 1x - 16x^3 , pode ser aproximado por . Aplicando isso para , temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
x sin 1x + 1x approx x ( 1x - 16x^3 ) + 1x = 1 - 16x^2 + 1x

Passo 5

Simplificando a expressão:
1 + 1x - 16x^2
Quando tende ao infinito, e tendem a zero, mas precisamos analisar o comportamento da expressão elevada a .

Passo 6

Reescrevemos a expressão na forma que facilita o cálculo do limite:
(1 + 1x - 16x^2)^x = (1 + 1x)^x cdot (1 - 16x^2 + x)^x
Sabemos que tende a quando vai para o infinito.

Passo 7

Analisando o segundo fator, (1 - 16x^2 + x)^x approx e^-x6x^2 + x = e^-16x + 1 to e^0 = 1 quando x to infty , percebemos que quando é muito grande, é muito pequeno, e podemos aproximar:

Passo 8

Então, juntando as duas partes:
limx to infty (x sin 1x + 1x)^x = e cdot 1 = e

Resposta

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