Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos um intervalo fechado onde . O objetivo é mostrar que a diferença entre os logaritmos de dois números e nesse intervalo é menor ou igual a vezes a diferença entre e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a relacionar a diferença de funções com a sua derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o logaritmo. A função logaritmo é uma função que nos diz a potência à qual a base (geralmente ) deve ser elevada para obter . Por exemplo, porque .
Passo 3
Agora, vamos considerar a diferença . Queremos relacionar isso com . Para isso, usamos o Teorema do Valor Médio, que afirma que para qualquer função contínua e diferenciável em , existe pelo menos um ponto em tal que:
Aqui, é a derivada da função logaritmo em .
Passo 4
Vamos calcular a derivada da função logaritmo. A derivada de em relação a é:
Isso significa que:
Como está no intervalo e , temos que , porque .
Passo 5
Substituindo por , obtemos:
Isso mostra exatamente o que a questão pede.
Resposta
Portanto, demonstramos que para todo no intervalo com .