Seja um intervalo fechado com . Mostre que .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão nos pede. Temos um intervalo fechado onde . O objetivo é mostrar que a diferença entre os logaritmos de dois números e nesse intervalo é menor ou igual a vezes a diferença entre e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Valor Médio, que nos ajuda a relacionar a diferença de funções com a sua derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o logaritmo. A função logaritmo é uma função que nos diz a potência à qual a base (geralmente ) deve ser elevada para obter . Por exemplo, porque .

Passo 3

Agora, vamos considerar a diferença . Queremos relacionar isso com . Para isso, usamos o Teorema do Valor Médio, que afirma que para qualquer função contínua e diferenciável em , existe pelo menos um ponto em tal que:
Aqui, é a derivada da função logaritmo em .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função logaritmo. A derivada de em relação a é:
Isso significa que:
Como está no intervalo e , temos que , porque .

Passo 5

Substituindo por , obtemos:
Isso mostra exatamente o que a questão pede.

Resposta

Portanto, demonstramos que para todo no intervalo com .

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vii)
Prove que .
Obtenha a série de Taylor da função , com relação a . Determine seu raio de convergência.