calcule o limite lim (x, y) (1,-1) x y+1x+y ao longo da curva y=-x^2

Passo 1

Então, a gente tem que calcular o limite de xy + 1x + y quando (x, y) se aproxima de (1, -1), mas seguindo a curva y = -x^2. A matéria aqui é cálculo de limites de funções de duas variáveis, e vamos precisar substituir a curva na função para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a expressão de y na função. Como y = -x^2, vamos substituir isso na função original:
xy + 1x + y = x(-x^2) + 1x + (-x^2)

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
-x^3 + 1x - x^2

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos simplificar mais:
No numerador, temos -x^3 + 1, que pode ser reescrito como 1 - x^3.
Sabemos que 1 - x^3 pode ser fatorado como (1 - x)(1 + x + x^2).
No denominador, temos x - x^2, que pode ser fatorado como x(1 - x).
Então, a expressão fica:
(1 - x)(1 + x + x^2)x(1 - x)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo (1 - x) no numerador e no denominador:
1 + x + x^2x

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando x se aproxima de 1:
Substituindo x = 1 na expressão simplificada:
1 + 1 + 1^21 = 1 + 1 + 11 = 31 = 3

Resposta

O limite é igual a 3.

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