Derive y = x^(sen(2 x))

Passo 1

Beleza! A gente tem que derivar a função . Isso está na área de cálculo, mais especificamente em derivadas que envolvem funções exponenciais com expoentes complicados. Para resolver isso, vamos precisar usar a diferenciação logarítmica, que é útil quando a variável está em ambos, a base e o expoente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação para facilitar a derivação. Ficamos com:

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para a frente ( ), temos:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . No lado esquerdo, usamos a derivada da função logarítmica:
No lado direito, precisamos aplicar a regra do produto porque temos o produto de e :

Passo 5

Agora, igualamos as duas derivadas:

Passo 6

Para isolar , multiplicamos ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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