calcule o limite: lim (x, y) (0,0) x+yx^2-y x

Passo 1

Vamos calcular o limite da função x+yx^2-yx quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para isso, vamos usar o conceito de limites em várias variáveis e verificar se o limite é o mesmo independente do caminho que escolhemos para chegar em (0,0).

Passo 2

Uma boa estratégia para esses casos é substituir y por uma função de x, como y = kx, onde k é uma constante. Assim, vamos ver como o limite se comporta ao longo de diferentes linhas passando pela origem.

Passo 3

Substituindo y = kx na função, temos:
x + kxx^2 - kx cdot x = (1 + k)xx^2(1 - k) = 1 + kx(1 - k)

Passo 4

Agora, analisamos o que acontece quando x se aproxima de 0:
  • Se k neq -1, o denominador x(1 - k) tende a 0, fazendo com que a expressão 1 + kx(1 - k) tenda a pminfty dependendo do sinal de 1 - k.
  • Se k = -1, substituindo na expressão original:
x + (-x)x^2 - (-x)x = 02x^2 = 0

Passo 5

Observamos que, dependendo do valor de k, o limite pode ser infinito ou zero. Isso mostra que o valor do limite varia de acordo com o caminho escolhido para se aproximar de (0,0).

Resposta

O limite não existe.

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