Considere a equação . Resolva a equação exata resultante para solucionar a equação original.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Estamos no campo de equações diferenciais exatas. Isso significa que vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a resolver a equação. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e .
Temos:
Para a equação ser exata, precisa valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
Agora, a derivada parcial de em relação a :
Vemos que e . Como esses valores não são iguais, a equação não é exata. Mas calma, tem uma solução!

Passo 4

Quando a equação não é exata, às vezes podemos encontrar um fator integrante que multiplica toda a equação e a torna exata. Vamos tentar encontrar esse fator.
Assumindo que o fator integrante depende só de ou só de . Vamos supor que depende só de , ou seja, .
Multiplicamos a equação original por :
Para que essa nova equação seja exata, deve valer:
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 5

Primeiro, a derivada parcial em :
Agora, a derivada parcial em :
Igualando as duas expressões:
Para que isso valha para todo , os termos com devem cancelar, o que só acontece se , mas isso não é útil. Então, talvez o fator integrante dependa de . Vamos tentar .

Passo 6

Assumindo , multiplicamos a equação original:
Para ser exata:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Rearranjando:
Ainda complicado. Parece que o fator integrante não é simples. Vamos tentar uma outra abordagem.

Passo 7

Outra técnica é dividir a equação por um termo comum. Observando a equação original:
Podemos reescrever como:
Dividindo ambos os lados por :
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Assim, .

Passo 8

Com , derivamos ambos os lados em relação a :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Rearranjando:

Passo 9

Agora temos uma equação diferencial separável:
Dividindo ambos os lados por :
Vamos integrar ambos os lados.

Passo 10

Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Podemos fatorar o denominador:
Então:
Agora, a integral fica:
Integrando:

Passo 11

Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos escrever isso como:
Onde é uma constante.
Lembrando que , substituímos de volta:
Simplificando:

Passo 12

Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo :
Rearranjando:
Podemos renomear como (constante arbitrária), então:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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