Considere a equação
. Resolva a equação exata resultante para solucionar a equação original.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial:
Estamos no campo de equações diferenciais exatas. Isso significa que vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial que nos ajude a resolver a equação. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
.
Temos:
Para a equação ser exata, precisa valer que:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a derivada parcial de
em relação a
:
Vemos que
e
. Como esses valores não são iguais, a equação não é exata. Mas calma, tem uma solução!
Passo 4
Quando a equação não é exata, às vezes podemos encontrar um fator integrante que multiplica toda a equação e a torna exata. Vamos tentar encontrar esse fator.
Assumindo que o fator integrante depende só de
ou só de
. Vamos supor que depende só de
, ou seja,
.
Multiplicamos a equação original por
:
Para que essa nova equação seja exata, deve valer:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 5
Primeiro, a derivada parcial em
:
Agora, a derivada parcial em
:
Igualando as duas expressões:
Para que isso valha para todo
, os termos com
devem cancelar, o que só acontece se
, mas isso não é útil. Então, talvez o fator integrante dependa de
. Vamos tentar
.
Passo 6
Assumindo
, multiplicamos a equação original:
Para ser exata:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Rearranjando:
Ainda complicado. Parece que o fator integrante não é simples. Vamos tentar uma outra abordagem.
Passo 7
Outra técnica é dividir a equação por um termo comum. Observando a equação original:
Podemos reescrever como:
Dividindo ambos os lados por
:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
. Assim,
.
Passo 8
Com
, derivamos ambos os lados em relação a
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Rearranjando:
Passo 9
Agora temos uma equação diferencial separável:
Dividindo ambos os lados por
:
Vamos integrar ambos os lados.
Passo 10
Primeiro, simplificamos a fração do lado esquerdo. Podemos fatorar o denominador:
Então:
Agora, a integral fica:
Integrando:
Passo 11
Vamos simplificar a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Podemos escrever isso como:
Onde
é uma constante.
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 12
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo
:
Rearranjando:
Podemos renomear
como
(constante arbitrária), então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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.
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em termos de sen
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calcule o limite:
Mostre que a equação
não é exata. Encontre um fator integrante para transformar a equação em exata. Por fim, resolva a equação.