Determine e represente geometricament o domínio da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar o domínio da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e raízes quadradas, que nos ajudam a entender onde a função está bem definida.

Passo 2

Primeiro, vamos ver onde a função logarítmica está definida. Sabemos que o logaritmo natural só existe para . Então, já temos a primeira condição:

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador . A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 4

Além disso, o denominador não pode ser zero, pois não dá pra dividir por zero. Então, precisamos que:
Ou seja:

Passo 5

Juntando todas as condições que encontramos:
Essas duas condições têm que ser verdade ao mesmo tempo. Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pares tais que é positivo e menor que .

Passo 6

Para representar geometricamente esse domínio, vamos imaginar o gráfico no plano . A condição representa todas as áreas abaixo da parábola , mas como também tem que ser positivo, consideramos apenas a parte direita do gráfico onde .

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos onde e . Geometricamente, isso corresponde à região no plano situada à direita do eixo (porque ) e abaixo da parábola .

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