Determine e represente geometricament o domínio da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar e desenhar o domínio da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções logarítmicas e raízes quadradas, que nos ajudam a entender onde a função está bem definida.
Passo 2
Primeiro, vamos ver onde a função logarítmica
está definida. Sabemos que o logaritmo natural só existe para
. Então, já temos a primeira condição:
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador
. A raiz quadrada só está definida para números não negativos, ou seja:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 4
Além disso, o denominador não pode ser zero, pois não dá pra dividir por zero. Então, precisamos que:
Ou seja:
Passo 5
Juntando todas as condições que encontramos:
Essas duas condições têm que ser verdade ao mesmo tempo. Então, o domínio da função é o conjunto de todos os pares
tais que
é positivo e menor que
.
Passo 6
Para representar geometricamente esse domínio, vamos imaginar o gráfico no plano
. A condição
representa todas as áreas abaixo da parábola
, mas como
também tem que ser positivo, consideramos apenas a parte direita do gráfico onde
.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os pontos
onde
e
. Geometricamente, isso corresponde à região no plano
situada à direita do eixo
(porque
) e abaixo da parábola
.
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, então
.
Considere a equação
. Resolva a equação exata resultante para solucionar a equação original.
calcule o limite: