Calcule o limite de quocientes indeterminados. (0,5 pt) lim x -2 x+2raiz5-x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que está na forma de quociente indeterminado. A matéria aqui é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Para resolver, vamos precisar identificar se o limite dá uma forma indeterminada como 00 ou inftyinfty e, se sim, aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir o valor de x que está se aproximando de -2 na função:
x + 2raiz5 - x^2 - 1
Substituindo x = -2:
-2 + 2raiz5 - (-2)^2 - 1 = 0raiz5 - 4 - 1 = 0raiz1 - 1 = 01 - 1 = 00
Como obtemos a forma 00, que é indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty, então:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Derivando o numerador f(x) = x + 2:
f'(x) = 1
Derivando o denominador g(x) = raiz5 - x^2 - 1:
g'(x) = ddx raiz5 - x^2 = 12raiz5 - x^2 cdot (-2x) = -xraiz5 - x^2
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
limx to -2 1-xraiz5 - x^2 = limx to -2 raiz5 - x^2-x

Passo 5

Substituindo x = -2 na nova expressão:
raiz5 - (-2)^2-(-2) = raiz5 - 42 = raiz12 = 12

Resposta

O limite é 12.

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