Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes. sumn=1^infty (-1)^n-1 e^1n4 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos originais. Então, consideramos:
sumn=1^infty | (-1)^n-1 e^1n4 n | = sumn=1^infty e^1n4 n

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou diverge. Sabemos que e^1n approx 1 + 1n + 12n^2 + dots pode ser aproximado por uma expansão em série de Taylor para valores grandes de e^1n4 n > 14 n :
Para simplificar, vamos considerar que para todo . Então:

Passo 4

A série sumn=1^infty 14 n = 14 sumn=1^infty 1n é basicamente a série harmônica multiplicada por sumn=1^infty e^1n4 n também diver>= , ou seja:
Sabemos que a série harmônica diverge. Portanto, como nossa série comparada é maior que uma série que já diverge, concluímos que:
é

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas ainda podemos verificar se a série original converge de forma condicional usando o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que se os termos limn to infty e^1n4 n = e^0infty = 0 são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série original converge.
Vamos verificar:
  1. Positividade: para todo .
  2. Decrescimento: À medida que aumenta, diminui porque tanto cresce mais devagar que aumenta.
  3. Limite zero:
Como todos os critérios são satisfeitos, a série original converge de forma condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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