Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos originais. Então, consideramos:

Passo 3

Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou diverge. Sabemos que pode ser aproximado por uma expansão em série de Taylor para valores grandes de :
Para simplificar, vamos considerar que para todo . Então:

Passo 4

A série é basicamente a série harmônica multiplicada por , ou seja:
Sabemos que a série harmônica diverge. Portanto, como nossa série comparada é maior que uma série que já diverge, concluímos que:
é

Passo 5

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas ainda podemos verificar se a série original converge de forma condicional usando o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série original converge.
Vamos verificar:
  1. Positividade: para todo .
  2. Decrescimento: À medida que aumenta, diminui porque tanto cresce mais devagar que aumenta.
  3. Limite zero:
Como todos os critérios são satisfeitos, a série original converge de forma condicional.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

Exercícios relacionados

Calcule o limite de quocientes indeterminados.
Seja . Use o Teorema de Stokes para calcular
onde é o hemisfério com e é a normal vetorial externa .
Calcule os limites abaixo. pt.)
Utilizando a série binomial escreva as funções como séries de potências e diga seus raios de convergência
f) , dica