Verifique se as séries são absolutamente convergentes, condicionalmente convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos precisar entender sobre convergência de séries e usar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série é absolutamente convergente. Isso significa que vamos olhar para a série dos valores absolutos dos termos originais. Então, consideramos:
Passo 3
Agora, precisamos determinar se essa nova série converge ou diverge. Sabemos que pode ser aproximado por uma expansão em série de Taylor para valores grandes de :
Para simplificar, vamos considerar que para todo . Então:
Passo 4
A série é basicamente a série harmônica multiplicada por , ou seja:
Sabemos que a série harmônica diverge. Portanto, como nossa série comparada é maior que uma série que já diverge, concluímos que:
é
Passo 5
Como a série dos valores absolutos diverge, ela não é absolutamente convergente. Mas ainda podemos verificar se a série original converge de forma condicional usando o Teste da Série Alternada.
Esse teste diz que se os termos são positivos, decrescentes e tendem a zero quando tende ao infinito, então a série original converge.
Vamos verificar:
Positividade: para todo .
Decrescimento: À medida que aumenta, diminui porque tanto cresce mais devagar que aumenta.
Limite zero:
Como todos os critérios são satisfeitos, a série original converge de forma condicional.