Seja F(x, y, z)=y i. Use o Teorema de Stokes para calcular
integral duplaS rot F cdot n d r
onde S é o hemisfério x^2+y^2+z^2=1 com z >= 0 e n é a normal vetorial externa S.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial integral duplaS rot F cdot n , dS e precisamos calcular a integral de superfície
onde é o hemisfério com e é a normal vetorial externa a . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma superfície com a integral de uma linha que delimita essa superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que:
integral duplaS rot F cdot n , dS = ointC F cdot dr
Aqui, é a curva que delimita a superfície . No nosso caso, é o hemisfério com , então sua fronteira é o círculo no plano .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva r(t) = cos t , i + sin t , j, t in [0, 2pi] . Como é um círculo unitário no plano , podemos usar coordenadas polares:
Isso significa que , e .

Passo 4

Calculamos a derivada de drdt = -sin t , i + cos t , j implies dr = (-sin t , i + cos t , j) dt em relação a para encontrar :

Passo 5

Substituímos F(r(t)) = y i = sin t , i na curva . Como , temos:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = (sin t , i) cdot (-sin t , i + cos t , j) = -sin^2 t :

Passo 7

Finalmente, integramos de ointC F cdot dr = integral0^2pi -sin^2 t , dt a integral0^2pi sin^2 t , dt = pi :
ointC F cdot dr = -pi
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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