Seja
. Use o Teorema de Stokes para calcular
onde
é o hemisfério
com
e
é a normal vetorial externa
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
e precisamos calcular a integral de superfície
onde
é o hemisfério
com
e
é a normal vetorial externa a
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma superfície com a integral de uma linha que delimita essa superfície.
Passo 2
O Teorema de Stokes diz que:
Aqui,
é a curva que delimita a superfície
. No nosso caso,
é o hemisfério
com
, então sua fronteira
é o círculo
no plano
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva
. Como é um círculo unitário no plano
, podemos usar coordenadas polares:
Isso significa que
,
e
.
Passo 4
Calculamos a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 5
Substituímos
na curva
. Como
, temos:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 7
Finalmente, integramos de
a
:
Sabemos que:
Portanto:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
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