Seja . Use o Teorema de Stokes para calcular
onde é o hemisfério com e é a normal vetorial externa .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial e precisamos calcular a integral de superfície
onde é o hemisfério com e é a normal vetorial externa a . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de uma superfície com a integral de uma linha que delimita essa superfície.

Passo 2

O Teorema de Stokes diz que:
Aqui, é a curva que delimita a superfície . No nosso caso, é o hemisfério com , então sua fronteira é o círculo no plano .

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva . Como é um círculo unitário no plano , podemos usar coordenadas polares:
Isso significa que , e .

Passo 4

Calculamos a derivada de em relação a para encontrar :

Passo 5

Substituímos na curva . Como , temos:

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 7

Finalmente, integramos de a :
Sabemos que:
Portanto:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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