Calcule o limite usando a regra de l’hospital: lim x*e^1/xx ->0+

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx to 0^+ x cdot e^1/x. A matéria que a gente vai usar aqui é o cálculo de limites, especificamente a Regra de L’Hospital. O que a gente precisa fazer é identificar se o limite está em uma forma indeterminada que permite usar essa regra e, se sim, aplicar a regra para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da função quando x se aproxima de 0 pela direita ( 0^+).
  • x se aproxima de 0.
  • 1/x se aproxima de +infty, então e^1/x também se aproxima de +infty.
Isso nos dá uma forma do tipo 0 times infty, que é uma indeterminação. Para usar a Regra de L’Hospital, precisamos reescrever essa expressão como uma fração.

Passo 3

Vamos reescrever x cdot e^1/x como e^1/x1/x. Agora, a expressão fica:
limx to 0^+ e^1/x1/x
Agora, tanto o numerador quanto o denominador estão tendendo para +infty, ou seja, temos uma forma inftyinfty, onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador e^1/x:
ddx e^1/x = e^1/x cdot (-1x^2)
  • Derivada do denominador 1/x:
ddx (1x) = -1x^2

Passo 5

Substituindo as derivadas na expressão do limite, temos:
limx to 0^+ e^1/x cdot (-1x^2)-1x^2 = limx to 0^+ e^1/x

Passo 6

Agora, precisamos avaliar limx to 0^+ e^1/x. Como x está se aproximando de 0 pela direita, 1/x vai para +infty, e, portanto, e^1/x também vai para +infty.

Resposta

O limite é +infty.

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