Calcule o limite usando a regra de l’hospital: lim x*e^1/xx ->0+
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A matéria que a gente vai usar aqui é o cálculo de limites, especificamente a Regra de L’Hospital. O que a gente precisa fazer é identificar se o limite está em uma forma indeterminada que permite usar essa regra e, se sim, aplicar a regra para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da função quando
se aproxima de
pela direita (
).
-
se aproxima de . -
se aproxima de , então também se aproxima de .
Isso nos dá uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para usar a Regra de L’Hospital, precisamos reescrever essa expressão como uma fração.
Passo 3
Vamos reescrever
como
. Agora, a expressão fica:
Agora, tanto o numerador quanto o denominador estão tendendo para
, ou seja, temos uma forma
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Passo 5
Substituindo as derivadas na expressão do limite, temos:
Passo 6
Agora, precisamos avaliar
. Como
está se aproximando de
pela direita,
vai para
, e, portanto,
também vai para
.
Resposta
O limite é
.