Para distâncias curtas, o trajeto de uma bala de arma de fogo pode ser descrito por uma reta. O ponto A é a origem do projétil e o ponto B a saída do cano. Considerando o esquema anterior, sendo A=(0,3/2) e B=(1,2) em metros, após um disparo, a que altura do solo uma bala irá atingir uma parede distante 10 metros do ponto A? (Considere o solo como sendo o eixo das abscissas).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício fala sobre a trajetória de uma bala que, para distâncias curtas, pode ser representada por uma reta. Temos dois pontos: A, onde a bala sai (origem) com coordenadas A = (0, 3/2) metros, e B, onde ela sai do cano da arma, com coordenadas B = (1, 2) metros. A pergunta é: depois de disparar, a que altura do chão a bala vai bater numa parede que está a 10 metros de A? Para resolver isso, vamos usar geometria analítica, especificamente a equação da reta que passa por dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação (ou coeficiente angular) da reta que representa a trajetória da bala. A inclinação nos diz quão inclinada é a reta e é calculada pela fórmula:
m = y2 - y1x2 - x1
Onde:
  • $ A = (x_1, y_1) = (0, \frac{3}{2}) $
  • $ B = (x_2, y_2) = (1, 2) $
Vamos calcular:
A = (x1, y1) = (0, 32)
Então, a inclinação da reta é $ \frac{1}{2} $.

Passo 3

Agora que temos a inclinação, vamos encontrar a equação da reta na forma $ y = mx + b $, onde:
  • $ m $ é a inclinação que já encontramos ($ \frac{1}{2} $)
  • $ b $ é o coeficiente linear, que representa onde a reta cruza o eixo y (altura inicial).
Para encontrar $ b $, vamos usar as coordenadas de um dos pontos, por exemplo, o ponto A:
y = mx + b
m
12
b
Então, a equação da reta é:
b

Passo 4

Agora que temos a equação da trajetória da bala, podemos descobrir a altura em que ela vai bater na parede que está a 10 metros de A. Basta substituir $ x = 10 $ na equação:
x = 10
y = 12 times 10 + 32
y = 5 + 32
y = 5 + 1,5

Resposta

A bala irá atingir a parede a uma altura de 6,5 metros do solo.

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