Decida se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique aquelas que forem falsas com um contraexemplo.
Se
existe, então
é contínua.
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada na afirmação: “Se
existe, então
é contínua.” O conteúdo aqui envolve os conceitos de limite e continuidade em funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função existir e o que caracteriza uma função contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o limite de uma função. Dizemos que
se, à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
. Isso significa que podemos chegar arbitrariamente perto de
fazendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida. - O limite
existe. -
.
Ou seja, para que a função seja contínua em
, o valor da função naquele ponto deve ser igual ao limite quando
se aproxima de
.
Passo 4
A afirmação diz que se o limite existe, então a função é contínua. Mas, olhando para as condições de continuidade, vemos que apenas ter o limite não é suficiente. Precisamos também que
seja igual a esse limite. Portanto, a afirmação não considera se
está definida ou se é igual ao limite.
Passo 5
Vamos ver isso na prática com um contraexemplo. Considere a função:
Vamos analisar o limite quando
se aproxima de 1:
Porém, o valor da função em
é
. Como
, a função não é contínua em
, mesmo com o limite existindo.
Resposta
A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a função definida por
se
e
. Aqui,
, mas
, então
não é contínua em
.
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, quando possível, para que a função seja contínua em
.
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