Decida se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas. Justifique aquelas que forem falsas com um contraexemplo.
Se lim x 1 f(x) existe, então f é contínua.

Passo 1

Vamos dar uma olhada na afirmação: “Se lim x 1 f(x) existe, então f é contínua.” O conteúdo aqui envolve os conceitos de limite e continuidade em funções. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função existir e o que caracteriza uma função contínua.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o limite de uma função. Dizemos que lim x a f(x) = L se, à medida que x se aproxima de a, os valores de f(x) se aproximam de L. Isso significa que podemos chegar arbitrariamente perto de L fazendo x suficientemente próximo de a.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre continuidade. Uma função f é contínua em um ponto a se três condições forem satisfeitas:
  1. f(a) está definida.
  2. O limite lim x a f(x) existe.
  3. lim x a f(x) = f(a).
Ou seja, para que a função seja contínua em a, o valor da função naquele ponto deve ser igual ao limite quando x se aproxima de a.

Passo 4

A afirmação diz que se o limite existe, então a função é contínua. Mas, olhando para as condições de continuidade, vemos que apenas ter o limite não é suficiente. Precisamos também que f(a) seja igual a esse limite. Portanto, a afirmação não considera se f(a) está definida ou se é igual ao limite.

Passo 5

Vamos ver isso na prática com um contraexemplo. Considere a função:
f(x) = x, & se x neq 1 0, & se x = 1
Vamos analisar o limite quando x se aproxima de 1:
lim x 1 f(x) = 1
Porém, o valor da função em x = 1 é f(1) = 0. Como 1 neq 0, a função não é contínua em x = 1, mesmo com o limite existindo.

Resposta

A afirmação é falsa. Um contraexemplo é a função definida por f(x) = x se x neq 1 e f(1) = 0. Aqui, lim x 1 f(x) = 1, mas f(1) = 0, então f não é contínua em x = 1.

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