Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o limite quando vai para menos infinito da expressão . Esse exercício envolve conceitos de limites no infinito, funções exponenciais e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta quando fica muito grande em valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que é uma função exponencial que, quando tende a menos infinito, tende a zero. Isso porque a exponencial diminui muito rápido quando o expoente é um número negativo grande.

Passo 3

Agora, vamos olhar para . Quando vai para menos infinito, tende a zero. A função seno de um número próximo de zero pode ser aproximada por esse número, ou seja, quando é pequeno. Então, .

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Como já vimos, tende a zero e também tende a zero quando vai para menos infinito.

Passo 5

Multiplicando as duas partes que tendem a zero, temos que o produto também tende a zero:

Resposta

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Determine, se possível, as constantes e de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto , sendo:
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo:
Mostre que existe tal que .