Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Então, a gente precisa calcular o limite quando
vai para menos infinito da expressão
. Esse exercício envolve conceitos de limites no infinito, funções exponenciais e funções trigonométricas. Vamos precisar entender como cada uma dessas funções se comporta quando
fica muito grande em valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Sabemos que
é uma função exponencial que, quando
tende a menos infinito,
tende a zero. Isso porque a exponencial diminui muito rápido quando o expoente é um número negativo grande.
Passo 3
Agora, vamos olhar para
. Quando
vai para menos infinito,
tende a zero. A função seno de um número próximo de zero pode ser aproximada por esse número, ou seja,
quando
é pequeno. Então,
.
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
Como já vimos,
tende a zero e
também tende a zero quando
vai para menos infinito.
Passo 5
Multiplicando as duas partes que tendem a zero, temos que o produto também tende a zero:
Resposta
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Determine, se possível, as constantes
e
de modo que as funções abaixo sejam contínuas no ponto
, sendo:
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo:
Mostre que existe
tal que
.