Calcule os limites abaixo:
lim x +infty[raizx+raizx-raizx^2+3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x +infty[raizx+raizx-raizx^2+3]. A gente está trabalhando com limites no infinito e funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões dentro das raízes para entender como elas se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Olha só:
  1. : Quando cresce muito, é bem menor comparado com . Então, é aproximadamente .
  2. : Aqui, domina o 3 quando é grande. Então, é aproximadamente .

Passo 3

Agora que entendemos as aproximações, vamos escrever a expressão original usando essas aproximações:
raizx + raizx - raizx^2 + 3 approx raizx - x
Mas isso não nos dá a resposta completa. Precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.

Passo 4

Vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar diferenças de raízes. Multiplicamos e dividimos a expressão por seu conjugado:
raizx + raizx - raizx^2 + 3 = (raizx + raizx - raizx^2 + 3)(raizx + raizx + raizx^2 + 3)raizx + raizx + raizx^2 + 3

Passo 5

No numerador, aplicamos a identidade (raizx + raizx)^2 - (raizx^2 + 3)^2 = (x + raizx) - (x^2 + 3) :
x + raizx - x^2 - 3 = -x^2 + x + raizx - 3
Simplificando isso:

Passo 6

Agora, nossa expressão fica:
-x^2 + x + raizx - 3raizx + raizx + raizx^2 + 3
Quando tende ao infinito, se aproxima de e se aproxima de . Então, o denominador é aproximadamente .

Passo 7

Então, a expressão fica:
-x^2 + x + raizx - 3x + raizx
Dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
-x^2x + xx + raizxx - 3x = -x + 1 + 1raizx - 3x

Passo 8

Agora, avaliamos o limite de cada termo individualmente quando vai para :
  • tende a
  • permanece
  • tende a
  • tende a

Passo 9

Somando tudo, o comportamento dominante é , que vai para . Portanto:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados