Calcule os limites abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente está trabalhando com limites no infinito e funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões dentro das raízes para entender como elas se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Olha só:
-
: Quando cresce muito, é bem menor comparado com . Então, é aproximadamente . -
: Aqui, domina o 3 quando é grande. Então, é aproximadamente .
Passo 3
Agora que entendemos as aproximações, vamos escrever a expressão original usando essas aproximações:
Mas isso não nos dá a resposta completa. Precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.
Passo 4
Vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar diferenças de raízes. Multiplicamos e dividimos a expressão por seu conjugado:
Passo 5
No numerador, aplicamos a identidade
:
Simplificando isso:
Passo 6
Agora, nossa expressão fica:
Quando
tende ao infinito,
se aproxima de
e
se aproxima de
. Então, o denominador é aproximadamente
.
Passo 7
Então, a expressão fica:
Dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 8
Agora, avaliamos o limite de cada termo individualmente quando
vai para
:
-
tende a -
permanece -
tende a -
tende a
Passo 9
Somando tudo, o comportamento dominante é
, que vai para
. Portanto:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso abaixo calcule o limite de
, quando
.
.
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: