Calcule os limites abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente está trabalhando com limites no infinito e funções radicais. Para resolver isso, vamos precisar manipular as expressões dentro das raízes para entender como elas se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Olha só:
  1. : Quando cresce muito, é bem menor comparado com . Então, é aproximadamente .
  2. : Aqui, domina o 3 quando é grande. Então, é aproximadamente .

Passo 3

Agora que entendemos as aproximações, vamos escrever a expressão original usando essas aproximações:
Mas isso não nos dá a resposta completa. Precisamos ser mais precisos para encontrar o limite exato.

Passo 4

Vamos usar uma técnica chamada racionalização, que ajuda a simplificar diferenças de raízes. Multiplicamos e dividimos a expressão por seu conjugado:

Passo 5

No numerador, aplicamos a identidade :
Simplificando isso:

Passo 6

Agora, nossa expressão fica:
Quando tende ao infinito, se aproxima de e se aproxima de . Então, o denominador é aproximadamente .

Passo 7

Então, a expressão fica:
Dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 8

Agora, avaliamos o limite de cada termo individualmente quando vai para :
  • tende a
  • permanece
  • tende a
  • tende a

Passo 9

Somando tudo, o comportamento dominante é , que vai para . Portanto:

Resposta

O limite é .

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Em cada caso abaixo calcule o limite de , quando .
.
Calcule os limites abaixo:
Calcule os limites abaixo: