Calcule os limites abaixo. (0,5 pt.) lim x 0 6 x-sen 2 x2 x+3 sen 2 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Nossa matéria aqui é Cálculo, especificamente o estudo de limites envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando sin(2x) approx 2x quando x approx 0 está muito próximo de 0. Sabemos que, para valores pequenos de , a função seno pode ser aproximada pela sua própria série de Taylor. Ou seja:
Isso significa que, perto de zero, é aproximadamente igual a .

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original:
6x - sin(2x)2x + 3sin(2x) approx 6x - 2x2x + 3 times 2x = 4x8x
Aqui, simplificamos a expressão substituindo por .

Passo 4

Percebemos que o 4x8x = 48 = 12 no numerador e no denominador aparece como fator comum. Podemos então simplificar cancelando esse , desde que :

Resposta

Portanto, o limite quando se aproxima de 0 da expressão é .

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