a) sumk=2^infty x^k(k-1) k
b) sumn=1^infty (-3)^n(x-1)^nraizn+1
c) sumn=1^infty (2 n)!(n!)^2 x^n
d) sumk=1^infty (-1)^k3^k raizk x^k
e) sumn=1^infty (n+1)^2n^3(x-2)^n
f) summ=1^infty (x+1)^m-12^m raizm^3
g) sumn=0^infty (x-2)^n3^n raizn+1
h) sumn=1^infty(3 n+12 n)^n x^n
i) sumk=1^infty k^18(3 k)^k x^k
j) sumn=0^infty 3 n4 n^2+1(x-2)^n
k) summ=1^infty cos (m pi)m x^m

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita representada por . O conteúdo envolvido aqui é o estudo de séries, especificamente séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e propriedades de séries telescópicas.

Passo 2

Vamos começar simplificando o termo geral da série 1(k-1)k = 1k-1 - 1k . Para isso, usamos frações parciais, que ajudam a decompor frações complexas em partes mais simples.
Podemos escrever:
Isso é possível porque, ao fazer a soma dos termos no lado direito, os denominadores se anulam de forma que retornamos ao termo original no lado esquerdo.

Passo 3

Agora, substituímos a expressão simplificada na série original:
sumk=2^infty x^k(k-1)k = sumk=2^infty x^k ( 1k-1 - 1k )
Distribuindo sumk=2^infty ( x^kk-1 - x^kk ) , temos:

Passo 4

Observe que na primeira parte da soma, substituímos sumk=2^infty x^kk-1 = sumn=1^infty x^n+1n = x sumn=1^infty x^nn por onde . Isso muda o índice de soma:
Sabemos que para .

Passo 5

A segunda parte da soma é:
sumk=2^infty x^kk = sumk=1^infty x^kk - x1 = -ln(1 - x) - x
Aqui, subtraímos o termo quando para ajustar o índice da soma.

Passo 6

Juntando as duas partes, temos:
sumk=2^infty x^k(k-1)k = x (-ln(1 - x)) - (-ln(1 - x) - x) = x ln(1 - x) + ln(1 - x) + x
Simplificando:
sumk=2^infty x^k(k-1)k = (x + 1) ln(1 - x) + x

Resposta

A soma da série infinita (x + 1) ln(1 - x) + x é igual a:

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