Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
j) sumn=0^infty 3 n4 n^2+1(x-2)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty 3n4n^2+1(x-2)^n
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai somar para um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
E a série converge se . O raio de convergência é então .
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular o limite L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 3(n+1)4(n+1)^2+13n4n^2+1 | :
L = limn to infty (n+1)(4n^2+1)n(4(n+1)^2+1)
Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir 4(n+1)^2 + 1 = 4(n^2 + 2n +1) +1 = 4n^2 + 8n +4 +1 = 4n^2 +8n +5 :
L = limn to infty (n+1)(4n^2+1)n(4n^2 +8n +5)
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos expandir o numerador:
(n+1)(4n^2+1) = 4n^3 + n +4n^2 +1 = 4n^3 +4n^2 +n +1
E o denominador já está expandido:
n(4n^2 +8n +5) = 4n^3 +8n^2 +5n
Então,
L = limn to infty 4n^3 +4n^2 +n +14n^3 +8n^2 +5n

Passo 6

Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e denominador dominam quando L = limn to infty 4 + 4n + 1n^2 + 1n^34 + 8n + 5n^2 vai para o infinito. Então, podemos simplificar dividindo todos os termos por L = 44 = 1 :
Quando tende ao infinito, os termos com , , etc., vão a zero. Assim:

Passo 7

Agora que temos R = 1L = 11 = 1 , podemos encontrar o raio de convergência :
Isso significa que a série converge quando .

Passo 8

Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos -1 < x - 2 < 1 :
1 < x < 3
Adicionando 2 em todas as partes:
Agora, precisamos verificar se a série converge ou não nos extremos e .

Passo 9

Para sumn=0^infty 3n4n^2+1(1-2)^n = sumn=0^infty 3n4n^2+1(-1)^n :
Substituímos na série:
sumn=0^infty 3n4n^2+1(3-2)^n = sumn=0^infty 3n4n^2+1(1)^n = sumn=0^infty 3n4n^2+1
Aqui, temos uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Alternância (Alternating Series Test):
  1. Os termos são positivos.
  2. é decrescente, pois diminui com o aumento de .
Então, a série converge para .
Para :
Substituímos na série:
Aqui, comparamos com a série , que diverge (Conhecido como Teste da Série Harmônica). Como quando é grande, a série também diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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