Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai somar para um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma , calculamos o limite:
E a série converge se . O raio de convergência é então .
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular o limite L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | 3(n+1)4(n+1)^2+13n4n^2+1 | :
Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e denominador dominam quando L = limn to infty 4 + 4n + 1n^2 + 1n^34 + 8n + 5n^2 vai para o infinito. Então, podemos simplificar dividindo todos os termos por L = 44 = 1 :
Quando tende ao infinito, os termos com , , etc., vão a zero. Assim:
Passo 7
Agora que temos R = 1L = 11 = 1 , podemos encontrar o raio de convergência:
Isso significa que a série converge quando .
Passo 8
Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos -1 < x - 2 < 1 :
1 < x < 3
Adicionando 2 em todas as partes:
Agora, precisamos verificar se a série converge ou não nos extremos e .
Passo 9
Para sumn=0^infty 3n4n^2+1(1-2)^n = sumn=0^infty 3n4n^2+1(-1)^n :