Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai somar para um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma , calculamos o limite:
E a série converge se . O raio de convergência é então .
No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular o limite :
Simplificando:
Passo 4
Vamos expandir :
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos expandir o numerador:
E o denominador já está expandido:
Então,
Passo 6
Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e denominador dominam quando vai para o infinito. Então, podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Quando tende ao infinito, os termos com , , etc., vão a zero. Assim:
Passo 7
Agora que temos , podemos encontrar o raio de convergência:
Isso significa que a série converge quando .
Passo 8
Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos :
Adicionando 2 em todas as partes:
Agora, precisamos verificar se a série converge ou não nos extremos e .
Passo 9
Para :
Substituímos na série:
Aqui, temos uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Alternância (Alternating Series Test):
Os termos são positivos.
é decrescente, pois diminui com o aumento de .
Então, a série converge para .
Para :
Substituímos na série:
Aqui, comparamos com a série , que diverge (Conhecido como Teste da Série Harmônica). Como quando é grande, a série também diverge.
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .