Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências
j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série vai “funcionar”, ou seja, vai somar para um valor finito. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série de potências da forma , calculamos o limite:
E a série converge se . O raio de convergência é então .
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular o limite :
Simplificando:

Passo 4

Vamos expandir :
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos expandir o numerador:
E o denominador já está expandido:
Então,

Passo 6

Para calcular esse limite, observamos que os termos de maior grau no numerador e denominador dominam quando vai para o infinito. Então, podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Quando tende ao infinito, os termos com , , etc., vão a zero. Assim:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar o raio de convergência :
Isso significa que a série converge quando .

Passo 8

Para encontrar o intervalo de convergência, resolvemos :
Adicionando 2 em todas as partes:
Agora, precisamos verificar se a série converge ou não nos extremos e .

Passo 9

Para :
Substituímos na série:
Aqui, temos uma série alternada. Para verificar a convergência, usamos o Teste da Alternância (Alternating Series Test):
  1. Os termos são positivos.
  2. é decrescente, pois diminui com o aumento de .
Então, a série converge para .
Para :
Substituímos na série:
Aqui, comparamos com a série , que diverge (Conhecido como Teste da Série Harmônica). Como quando é grande, a série também diverge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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c)