Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Lk) lim x 0 cos (2 x)-1x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o limite . Esse exercício está na área de Cálculo, mais especificamente em limites. Para resolver isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é uma ferramenta para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como ou .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se ao substituir cos(2 cdot 0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0 na expressão, obtemos uma forma indeterminada.
x = 0
E o denominador:
Então, temos , que é uma forma indeterminada. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to c f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos calcular o limite das derivadas:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o numerador ddx[cos(2x) - 1] = -2sin(2x) :
ddx[x] = 1
Derivando o denominador :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
limx to 0 -2sin(2x)1 = -2 limx to 0 sin(2x)

Passo 6

Sabemos que , porque .

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x 0 cos (2 x)-1x = -2 cdot 0 = 0

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