Calcule os limites abaixo, utilizando a regra de Lh) lim x 0 e^3 x-13 x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite lim x 0 e^3 x-13 x usando a regra de L’Hôpital. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites e técnicas para resolvê-los quando encontramos uma indeterminação como 0/0. Para resolver isso, vamos precisar entender e aplicar a regra de L’Hôpital, que envolve derivar o numerador e o denominador da fração.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 0 diretamente na expressão. Substituindo:
e^3 cdot 0 - 13 cdot 0 = 1 - 10 = 00
Isso significa que temos uma indeterminação do tipo 0/0, que é exatamente quando a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que, se temos um limite que resulta em 0/0 ou infty/infty, podemos calcular o limite das derivadas do numerador e do denominador. Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador e^3x - 1 em relação a x:
    ddx(e^3x - 1) = 3e^3x
  • Derivada do denominador 3x em relação a x:
    ddx(3x) = 3

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na expressão original do limite:
lim x 0 3e^3x3 = lim x 0 e^3x
Agora, precisamos calcular o limite de e^3x quando x tende a 0. Sabemos que e^0 = 1, então:
lim x 0 e^3x = e^0 = 1

Resposta

O limite lim x 0 e^3 x-13 x é igual a 1.

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