Calcule os limites: b) lim x 1 1+cos (pi x)x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em uma forma indeterminada e usar a regra de L’Hôpital se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 1 + cos(pi cdot 1)1^2 - 1 = 1 + cos(pi)1 - 1 = 1 - 10 = 00 na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando temos uma forma x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) , uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador ou usar a regra de L’Hôpital. Nesse caso, vamos tentar simplificar a expressão antes de aplicar qualquer outra técnica.
Observando o denominador , podemos fatorar como uma diferença de quadrados:
Vamos ver se conseguimos simplificar o numerador de forma semelhante.

Passo 4

O numerador é 1 + cos(theta) = 2cos^2(theta2) . Podemos usar a identidade trigonométrica:
1 + cos(pi x) = 2cos^2(pi x2)
Aplicando isso com 2cos^2(pi x2)(x - 1)(x + 1) :
Agora, substituímos de volta na expressão original:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando se aproxima de 1. Sabemos que quando é . Portanto, o numerador também está tendendo a 0. Isso nos leva novamente a uma forma .
Dessa forma, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador até que a forma indeterminada desapareça.

Passo 6

Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador ddx[1 + cos(pi x)] = -pi sin(pi x) :
ddx[x^2 - 1] = 2x
Derivada do denominador limx 1 -pi sin(pi x)2x :
Agora, aplicamos esses resultados na expressão do limite:

Passo 7

Substituindo -pi sin(pi cdot 1)2 cdot 1 = -pi sin(pi)2 na nova expressão:
-pi cdot 02 = 0
Sabemos que , então:

Resposta

O limite é igual a .

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