Calcule os limites:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está dentro da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente lidando com limites que envolvem funções trigonométricas e polinomiais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular limites que resultam em uma forma indeterminada e usar a regra de L’Hôpital se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
na expressão para ver o que acontece:
A gente se depara com uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Quando temos uma forma
, uma técnica útil é fatorar o numerador e o denominador ou usar a regra de L’Hôpital. Nesse caso, vamos tentar simplificar a expressão antes de aplicar qualquer outra técnica.
Observando o denominador
, podemos fatorar como uma diferença de quadrados:
Vamos ver se conseguimos simplificar o numerador de forma semelhante.
Passo 4
O numerador é
. Podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso com
:
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
se aproxima de 1. Sabemos que
quando
é
. Portanto, o numerador também está tendendo a 0. Isso nos leva novamente a uma forma
.
Dessa forma, podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador até que a forma indeterminada desapareça.
Passo 6
Vamos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Agora, aplicamos esses resultados na expressão do limite:
Passo 7
Substituindo
na nova expressão:
Sabemos que
, então:
Resposta
O limite é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcular a derivada de
.
Indique a composição de funções que define
.
Determine a reta tangente à curva
no ponto
:
Calcule os limites: