Determine a reta tangente à curva S no ponto P :
S: y^3 + 2 x^2 - 4 x y = 1 ; P = (1, 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva no ponto . A matéria que estamos usando aqui é derivada implícita, que nos ajuda a achar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para . Vamos precisar calcular a derivada de em relação a usando essa técnica.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação da curva :
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos com , usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando cada termo:
  • A derivada de com relação a é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do produto: .
  • A derivada de é .
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos que contêm :
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto . Substituímos e na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
Onde e . Substituindo:
Simplificando:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é:

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