Determine a reta tangente à curva
no ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a reta tangente à curva
no ponto
. A matéria que estamos usando aqui é derivada implícita, que nos ajuda a achar a inclinação da reta tangente quando a equação da curva não está resolvida para
. Vamos precisar calcular a derivada de
em relação a
usando essa técnica.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da curva
:
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Derivando cada termo:
- A derivada de
com relação a é . - A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra do produto: . - A derivada de
é .
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos que contêm
:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos calcular a inclinação da reta tangente no ponto
. Substituímos
e
na expressão da derivada:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 6
Agora, usamos a forma ponto-inclinação da equação da reta, que é:
Onde
e
. Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Calcular a derivada de
.
Calcule os limites:
Determine as retas que tangenciam a curva
e passam pelo ponto
: