Calcule os limites, caso existam.
lim x -infty[x+raizx^2+3].

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando tende a menos infinito. Isso envolve entender como funções com crescimento rápido, como e , se comportam nesse cenário.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando vai para menos infinito, sozinho tende a menos infinito, e tende a infinito, já que domina o termo constante 3.

Passo 3

Para simplificar, vamos fatorar dentro da raiz. Podemos reescrever como . Como é negativo (está indo para menos infinito), .

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original:
x + raizx^2 + 3 = x - x raiz1 + 3x^2

Passo 5

Fatoramos x (1 - raiz1 + 3x^2) na expressão:

Passo 6

Agora, usamos a aproximação para a raiz quando raiz1 + 3x^2 approx 1 + 32x^2 é grande (ou seja, tende a menos infinito):

Passo 7

Substituindo essa aproximação na expressão:
x (1 - (1 + 32x^2)) = x (-32x^2) = -32x

Passo 8

Finalmente, calculamos o limite de quando tende a menos infinito. Como está no denominador e tende a menos infinito, todo o termo tende a zero.

Resposta

O limite é .

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(b) Determine a derivada direcional de f no ponto P(1,2) na direção v = (1/3) * (2i + raiz(5) * j).