Considere a função .
(a) Determine o gradiente de
(b) Determine a derivada direcional de no ponto na direção .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo vetorial. A gente precisa trabalhar com gradiente e derivada direcional da função . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e entender como usar essas derivadas para encontrar a direção desejada.
Passo 2
Parte (a): Determinar o gradiente de .
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função de duas variáveis, como , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Agora, juntando essas derivadas, temos o gradiente:
Passo 3
Parte (b): Determinar a derivada direcional de no ponto na direção .
A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
é o gradiente da função.
é o vetor unitário na direção de .
representa o produto escalar.
Primeiro, vamos calcular o gradiente no ponto :
Agora, garantimos que seja um vetor unitário. Dado que , ele já está normalizado porque:
Agora, fazemos o produto escalar:
Resposta
(a) O gradiente de é .
(b) A derivada direcional de no ponto na direção é .