2,0 Considere a função f(x, y) = y^2 / x.
(a) Determine o gradiente de f
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto P(1,2) na direção v = (1/3) * (2i + raiz(5) * j).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve cálculo vetorial. A gente precisa trabalhar com gradiente e derivada direcional da função . Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função e entender como usar essas derivadas para encontrar a direção desejada.

Passo 2

Parte (a): Determinar o gradiente de .
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função de duas variáveis, como , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
Agora, juntando essas derivadas, temos o gradiente:

Passo 3

Parte (b): Determinar a derivada direcional de no ponto na direção .
A derivada direcional mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para calcular isso, usamos a seguinte fórmula:
Onde:
  • é o gradiente da função.
  • é o vetor unitário na direção de .
  • representa o produto escalar.
Primeiro, vamos calcular o gradiente no ponto :
Agora, garantimos que seja um vetor unitário. Dado que , ele já está normalizado porque:
Agora, fazemos o produto escalar:

Resposta

(a) O gradiente de é .
(b) A derivada direcional de no ponto na direção é .

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