Calcule os limites envolvendo quocientes com raízes de polinômios.
(d) lim x 0 raizx+3-raiz3x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Isso envolve o tópico de limites em funções que possuem raízes de polinômios. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que direto substituir na expressão nos dá uma forma indeterminada . Isso indica que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite. Uma maneira eficaz de fazer isso é multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador.

Passo 3

O conjugado de raizx + 3 - raiz3x times raizx + 3 + raiz3raizx + 3 + raiz3 é . Então, multiplicamos numerador e denominador por :

Passo 4

No numerador, aplicamos a identidade (raizx + 3)^2 - (raiz3)^2 = (x + 3) - 3 = x :
xx(raizx + 3 + raiz3)
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, podemos simplificar 1raizx + 3 + raiz3 no numerador e no denominador:
1raiz0 + 3 + raiz3 = 1raiz3 + raiz3 = 12raiz3
Agora, podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

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