Calcule: integral0^1 x e^3 x d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da função vamos derivar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
A ideia é escolher e de forma que a segunda integral seja mais fácil de resolver.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x e dv = e^3x dx
Agora, vamos derivar du = dx e integrar v = integral e^3x dx = 13 e^3x para encontrar e :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^3x dx = uv - integral v , du = x cdot 13 e^3x - integral 13 e^3x dx

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
= x e^3x3 - 13 integral e^3x dx
Sabemos que:
integral e^3x dx = 13 e^3x
Então:
= x e^3x3 - 13 cdot 13 e^3x + C = x e^3x3 - e^3x9 + C

Passo 6

Como queremos a integral definida de 0 a 1, aplicamos os limites:
[ x e^3x3 - e^3x9 ]0^1 = ( 1 cdot e^33 - e^39 ) - ( 0 cdot e^03 - e^09 )
Simplificando:
= ( e^33 - e^39 ) - ( 0 - 19 ) = 2 e^39 + 19 = 2 e^3 + 19

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados