vol =integral duplaA[4-(x^2+y^2+3)] d x d y, onde A é o círculo x^2+y^2 <= 1. Vol =pi2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. Temos uma integral dupla que representa um volume:
Vol = integral duplaA[4 - (x^2 + y^2 + 3)] dx , dy
Aqui, é o círculo definido por . O conteúdo envolve integrais duplas e uso de coordenadas polares, que são úteis quando lidamos com regiões circulares. Pra resolver, vamos precisar converter a integral para coordenadas polares e então calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4 - (x^2 + y^2 + 3) = 1 - x^2 - y^2
Então, agora a integral fica:
Vol = integral duplaA (1 - x^2 - y^2) dx , dy

Passo 3

Como a região Vol = integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2) r , dr , dtheta é um círculo centrado na origem com raio 1, é mais fácil resolver a integral usando coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares, e , e a área diferencial vira . A integral transforma-se em:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 (1 - r^2) r , dr = integral0^1 (r - r^3) dr :
[r^22 - r^44]0^1 = (12 - 14) - 0 = 14
Integrando termo a termo:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vol = integral0^2pi 14 , dtheta = 14 times 2pi = pi2

Resposta

Vol = pi2

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