Calcule os limites, se existir.
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular três limites quando
tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções racionais e com raízes. Para resolver isso, vamos precisar identificar o comportamento dos termos de maior grau no numerador e denominador, além de entender como as raízes afetam o limite.
Passo 2
Parte (a)
Expressão:
Resolução:
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Quando
tende ao infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.
Então, vamos focar nos termos
no numerador e
no denominador. Podemos simplificar dividindo todos os termos por
:
Agora, quando
tende a infinito,
e
vão para 0. Portanto, a expressão simplifica para:
Passo 3
Parte (b)
Expressão:
Resolução:
Aqui, temos uma raiz quadrada envolvendo um polinômio de sexto grau no numerador e um polinômio de terceiro grau no denominador. Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.
Primeiro, fatoramos o termo de maior grau dentro da raiz:
Agora, substituímos de volta na expressão original:
Dividimos numerador e denominador por
:
Quando
tende a infinito,
e
vão para 0:
Passo 4
Parte ©
Expressão:
Resolução:
Nesta parte, o numerador é um polinômio de quarto grau e o denominador é de terceiro grau. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes.
Observando os termos de maior grau:
- Numerador:
- Denominador:
Dividimos todos os termos por
:
À medida que
tende ao infinito, os termos com
ou maiores potências no denominador vão para 0:
Como
tende ao infinito, o limite é infinito.
Resposta
(a) O limite é
.
(b) O limite é
.
© O limite é
.