Calcule os limites, se existir.
(a) lim x infty 3 x^2-x+42 x^2+5 x-8
(b) lim x infty raiz9 x^6-xx^3+1
© lim x infty x^4-3 x^2+xx^3-x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular três limites quando tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é o cálculo de limites de funções racionais e com raízes. Para resolver isso, vamos precisar identificar o comportamento dos termos de maior grau no numerador e denominador, além de entender como as raízes afetam o limite.

Passo 2

Parte (a)

Expressão:
lim x infty 3 x^2-x+42 x^2+5 x-8
Resolução:
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de segundo grau. Quando 3x^2 - x + 42x^2 + 5x - 8 = 3 - 1x + 4x^22 + 5x - 8x^2 tende ao infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.
Então, vamos focar nos termos 3 + 0 + 02 + 0 + 0 = 32 no numerador e no denominador. Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Agora, quando tende a infinito, e vão para 0. Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 3

Parte (b)

Expressão:
lim x infty raiz9 x^6-xx^3+1
Resolução:
Aqui, temos uma raiz quadrada envolvendo um polinômio de sexto grau no numerador e um polinômio de terceiro grau no denominador. Vamos simplificar a expressão para facilitar o cálculo do limite.
Primeiro, fatoramos o termo de maior grau dentro da raiz:
raiz9x^6 - x = raizx^6 (9 - 1x^5) = x^3 raiz9 - 1x^5
Agora, substituímos de volta na expressão original:
x^3 raiz9 - 1x^5x^3 + 1 = x^3x^3 + 1 cdot raiz9 - 1x^5
Dividimos numerador e denominador por 11 + 1x^3 cdot raiz9 - 1x^5 :
11 + 0 cdot raiz9 - 0 = 1 cdot 3 = 3
Quando tende a infinito, e vão para 0:

Passo 4

Parte ©

Expressão:
lim x infty x^4-3 x^2+xx^3-x+2
Resolução:
Nesta parte, o numerador é um polinômio de quarto grau e o denominador é de terceiro grau. Quando o grau do numerador é maior que o do denominador, o limite tende a infinito ou menos infinito, dependendo dos coeficientes.
Observando os termos de maior grau:
  • Numerador: x^4 - 3x^2 + xx^3 - x + 2 = x (1 - 3x^2 + 1x^3)1 - 1x^2 + 2x^3
  • Denominador: x (1 + 0 + 0)1 + 0 + 0 = x
Dividimos todos os termos por :
À medida que tende ao infinito, os termos com ou maiores potências no denominador vão para 0:
Como tende ao infinito, o limite é infinito.

Resposta

(a) O limite é .
(b) O limite é .
© O limite é .

Exercícios relacionados