Encontre as assíntotas verticais e horizontais da função
y = (x^3 - x) / (x^2 - 6x + 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função:
Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática, especificamente de funções racionais e assíntotas. Vamos precisar saber como identificar onde a função pode ter valores infinitos (assíntotas verticais) e qual o comportamento da função quando vai para infinito ou menos infinito (assíntotas horizontais).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem nos valores de que fazem o denominador da fração igual a zero, mas que não cancelam com o numerador.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Vamos fatorar essa equação quadrática. Procuramos dois números que multiplicados dão 5 e somados dão -6. Esses números são -1 e -5. Então:
Portanto, as soluções são:
Agora, precisamos verificar se essas soluções tornam o numerador zero também. Vamos verificar :
Como o numerador também é zero quando , isso significa que temos um ponto de indeterminação e não uma assíntota vertical aqui. Já para :
Como o numerador não é zero quando , temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
O grau do numerador é 3 (porque ) e o grau do denominador é 2 (porque ).
Quando o grau do numerador é maior que o grau do denominador, não existe assíntota horizontal. Nesse caso, a função tem uma assíntota oblíqua, mas como o exercício pede apenas as assíntotas verticais e horizontais, podemos dizer que não há assíntota horizontal para essa função.

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e não possui assíntota horizontal.

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