Mostre que a função
f(x)=l x^4 sen(1 / x), se x neq 0 0, se x=0
é contínua em R.

Passo 1

Então, a gente tem que mostrar que a função f(x) = x^4 sin(1x), & se x neq 0 0, & se x = 0 definida por
é contínua em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função nesse ponto deve existir e ser igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função -1 <= sin(1x) <= 1 em todos os pontos onde - x^4 <= x^4 sin(1x) <= x^4 . Nesses pontos, a função é dada por .
Sabemos que é uma função oscilante, mas o importante aqui é que está sempre entre -1 e 1, ou seja,
Então, multiplicando por , temos
Como é uma função contínua para todo , e também é contínua onde está definida, o produto dessas funções também é contínuo para todo .

Passo 3

Agora, vamos verificar a continuidade no ponto limx to 0 x^4 sin(1x) . Para isso, precisamos calcular o limite de - x^4 <= x^4 sin(1x) <= x^4 quando se aproxima de 0 e ver se esse limite é igual a , que é 0.
Então, vamos calcular:
Como mencionamos antes, está entre -1 e 1. Portanto,
Agora, sabemos que e . Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas outras que têm o mesmo limite, então o limite da função no meio também é esse valor.

Passo 4

Aplicando o Teorema do Sanduíche, concluímos que
limx to 0 x^4 sin(1x) = 0
E como , o limite é igual ao valor da função no ponto . Portanto, a função é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todos os números reais .

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