Mostre que a função
é contínua em
.
Passo 1
Então, a gente tem que mostrar que a função
definida por
é contínua em todo o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente diz que para uma função ser contínua em um ponto, o limite da função nesse ponto deve existir e ser igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função
em todos os pontos onde
. Nesses pontos, a função é dada por
.
Sabemos que
é uma função oscilante, mas o importante aqui é que
está sempre entre -1 e 1, ou seja,
Então, multiplicando por
, temos
Como
é uma função contínua para todo
, e
também é contínua onde está definida, o produto dessas funções também é contínuo para todo
.
Passo 3
Agora, vamos verificar a continuidade no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e ver se esse limite é igual a
, que é 0.
Então, vamos calcular:
Como mencionamos antes,
está entre -1 e 1. Portanto,
Agora, sabemos que
e
. Pelo Teorema do Sanduíche, se uma função está sempre entre duas outras que têm o mesmo limite, então o limite da função no meio também é esse valor.
Passo 4
Aplicando o Teorema do Sanduíche, concluímos que
E como
, o limite é igual ao valor da função no ponto
. Portanto, a função
é contínua em
.
Resposta
A função
é contínua em todos os números reais
.