Calcule os limites, se existirem. Caso não existirem, justifique. lim x 1 raiz2 x-raizx+1x-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular o limite quando se aproxima de 1 para a expressão . Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões que resultam em formas indeterminadas, como .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz2(1) - raiz1+11 - 1 = raiz2 - raiz20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Weee! Aconteceu uma forma indeterminada . Isso significa que não podemos determinar o limite apenas substituindo os valores. Precisamos simplificar a expressão de outra forma.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada , uma técnica útil é racionalizar o numerador. Isso envolve multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador para eliminar as raízes.
O conjugado de é .

Passo 4

Vamos multiplicar o numerador e o denominador pela fração conjugada:
raiz2x - raizx+1x - 1 times raiz2x + raizx+1raiz2x + raizx+1 = (raiz2x - raizx+1)(raiz2x + raizx+1)(x - 1)(raiz2x + raizx+1)

Passo 5

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raiz2x)^2 - (raizx+1)^2 = 2x - (x + 1) = 2x - x - 1 = x - 1
Então, a expressão fica:
x - 1(x - 1)(raiz2x + raizx+1)

Passo 6

Agora, podemos simplificar dividindo cancelx - 1cancelx - 1 (raiz2x + raizx+1) = 1raiz2x + raizx+1 no numerador e no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 1raiz2(1) + raiz1+1 = 1raiz2 + raiz2 = 12raiz2 = raiz24 :

Resposta

O limite é .

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