Calcule os limites da forma:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que está no formato
. Isso significa que, quando substituímos
, tanto o numerador quanto o denominador dão zero, o que nos dá uma indeterminação. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
e o denominador é
.
Vamos começar com a derivada do numerador:
Agora, a derivada do denominador:
Passo 3
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite original:
Substituindo
agora, vemos que ainda temos uma indeterminação
, então precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.
Passo 4
Vamos derivar novamente o numerador e o denominador da nova expressão.
Derivada do novo numerador
:
Derivada do novo denominador
:
Passo 5
Agora, aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Complete o raciocínio e calcule-os. Seja
. Calcule
Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de forma que sua área tenha um valor prefixado
e seu volume
seja o maior possível
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à parábola
no ponto
.
Complete o raciocínio e calcule-os. Analise as respostas dos itens (g) e (h). Você acha que para
negativo ou fracionário vale a mesma regra que você encontrou no item (f)? Generalize, sem fazer contas, para o caso das funções da forma
, com
.