Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty lim x 1 ln [cos (x-1)]1-sin pi x2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que está no formato 00. Isso significa que, quando substituímos x = 1, tanto o numerador quanto o denominador dão zero, o que nos dá uma indeterminação. Para resolver esse tipo de limite, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador separadamente. O numerador é ln[cos(x-1)] e o denominador é 1 - sin(pi x2).
Vamos começar com a derivada do numerador:
ddx ln[cos(x-1)] = -sin(x-1)cos(x-1) = -tan(x-1)
Agora, a derivada do denominador:
ddx [1 - sin(pi x2)] = -pi2 cos(pi x2)

Passo 3

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas no limite original:
limx to 1 ln[cos(x-1)]1 - sin(pi x2) = limx to 1 -tan(x-1)-pi2 cos(pi x2) = limx to 1 tan(x-1)pi2 cos(pi x2)
Substituindo x = 1 agora, vemos que ainda temos uma indeterminação 00, então precisamos aplicar a Regra de L’Hôpital novamente.

Passo 4

Vamos derivar novamente o numerador e o denominador da nova expressão.
Derivada do novo numerador tan(x-1):
ddx tan(x-1) = sec^2(x-1)
Derivada do novo denominador pi2 cos(pi x2):
ddx [pi2 cos(pi x2)] = -pi^24 sin(pi x2)

Passo 5

Agora, aplicamos novamente a Regra de L’Hôpital:
limx to 1 sec^2(x-1)-pi^24 sin(pi x2) = sec^2(0)-pi^24 sin(pi2) = 1-pi^24 cdot 1 = -4pi^2

Resposta

O limite é - dfrac4pi^2.

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