Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de forma que sua área tenha um valor prefixado e seu volume seja o maior possível

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as medidas de uma caixa retangular com base quadrada e sem tampa. A área total dessa caixa é um valor fixo, chamado , e queremos que o volume dessa caixa, , seja o maior possível. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre áreas e volumes, além de um pouquinho de cálculo para otimizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de o lado da base quadrada da caixa e de a altura da caixa. Como a base é quadrada, a área da base é .

Passo 3

A caixa não tem tampa, então tem quatro lados laterais. Cada um desses lados é um retângulo com área , e como são quatro, a área total das laterais é .

Passo 4

A área total da caixa é a soma da área da base com a área das laterais. Então, temos:
Já que é um valor fixo, podemos usar essa equação para relacionar e .

Passo 5

Queremos maximizar o volume da caixa. O volume de uma caixa com base quadrada é dado por:
Nosso objetivo é expressar em termos de uma única variável para facilitar a otimização.

Passo 6

Vamos isolar na equação da área:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula do volume:
Simplificando:

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. A derivada de é:
Igualando a zero:
Portanto:

Passo 9

Agora, voltamos na equação que relaciona e para encontrar :

Resposta

As dimensões da caixa que maximiza o volume com área fixa são:
  • Lado da base ( ):
  • Altura ( ):

Exercícios relacionados

Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à parábola no ponto .
Complete o raciocínio e calcule-os. Seja . Calcule
Calcule os limites da forma: