Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de forma que sua área tenha um valor prefixado A e seu volume V seja o maior possível

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as medidas de uma caixa retangular com base quadrada e sem tampa. A área total dessa caixa é um valor fixo, chamado A, e queremos que o volume dessa caixa, V, seja o maior possível. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre áreas e volumes, além de um pouquinho de cálculo para otimizar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar de x o lado da base quadrada da caixa e de h a altura da caixa. Como a base é quadrada, a área da base é .

Passo 3

A caixa não tem tampa, então tem quatro lados laterais. Cada um desses lados é um retângulo com área , e como são quatro, a área total das laterais é .

Passo 4

A área total da caixa é a soma da área da base com a área das laterais. Então, temos:
Já que A é um valor fixo, podemos usar essa equação para relacionar x e h.

Passo 5

Queremos maximizar o volume da caixa. O volume V de uma caixa com base quadrada é dado por:
Nosso objetivo é expressar V em termos de uma única variável para facilitar a otimização.

Passo 6

Vamos isolar h na equação da área:

Passo 7

Agora, substituímos h na fórmula do volume:
Simplificando:

Passo 8

Para encontrar o valor de x que maximiza o volume, vamos derivar V em relação a x e igualar a derivada a zero. A derivada de V é:
Igualando a zero:
Portanto:

Passo 9

Agora, voltamos na equação que relaciona h e x para encontrar h:

Resposta

As dimensões da caixa que maximiza o volume com área fixa A são:
  • Lado da base ( x):
  • Altura ( h):

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