Determine as dimensões de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de forma que sua área tenha um valor prefixado
e seu volume
seja o maior possível
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar as medidas de uma caixa retangular com base quadrada e sem tampa. A área total dessa caixa é um valor fixo, chamado
, e queremos que o volume dessa caixa,
, seja o maior possível. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de geometria sobre áreas e volumes, além de um pouquinho de cálculo para otimizar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar de
o lado da base quadrada da caixa e de
a altura da caixa. Como a base é quadrada, a área da base é
.
Passo 3
A caixa não tem tampa, então tem quatro lados laterais. Cada um desses lados é um retângulo com área
, e como são quatro, a área total das laterais é
.
Passo 4
A área total da caixa é a soma da área da base com a área das laterais. Então, temos:
Já que
é um valor fixo, podemos usar essa equação para relacionar
e
.
Passo 5
Queremos maximizar o volume da caixa. O volume
de uma caixa com base quadrada é dado por:
Nosso objetivo é expressar
em termos de uma única variável para facilitar a otimização.
Passo 6
Vamos isolar
na equação da área:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. A derivada de
é:
Igualando a zero:
Portanto:
Passo 9
Agora, voltamos na equação que relaciona
e
para encontrar
:
Resposta
As dimensões da caixa que maximiza o volume com área fixa
são:
- Lado da base (
): - Altura (
):
Exercícios relacionados
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à parábola
no ponto
.
Complete o raciocínio e calcule-os. Seja
. Calcule
Calcule os limites da forma: