Complete o raciocínio e calcule-os. Seja f(x)=x^3. Calcule lim h 0 f(x+h)-f(x)h=lim h 0 (x+h)^3-x^3h=
=lim h 0 x^3+3 x^2 h+3 x h^2+h^3-x^3h=ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite , onde . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente da derivada de uma função. Para resolver, vamos precisar entender como expandir expressões algébricas e aplicar o conceito de limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir lim h 0 (x+h)^3 - x^3h na expressão do limite:
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
Aqui, precisamos expandir (x + h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3x h^2 + h^3 . Para isso, usamos a fórmula do cubo da soma:
Aplicando isso a :

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na expressão original do limite:
lim h 0 x^3 + 3x^2h + 3x h^2 + h^3 - x^3h
Observamos que lim h 0 3x^2h + 3x h^2 + h^3h e se cancelam:

Passo 4

Em seguida, podemos fatorar lim h 0 h(3x^2 + 3x h + h^2)h no numerador:
lim h 0 (3x^2 + 3x h + h^2)
Os no numerador e denominador se cancelam:

Passo 5

Agora, aplicamos o limite. Como 3x^2 + 3x cdot 0 + 0^2 = 3x^2 está tendendo a zero, as termos que contêm vão desaparecer:

Resposta

Portanto, o limite é igual a .

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