Calcule os limites da forma:
Passo 1
Vamos entender qual é o desafio aqui. Precisamos calcular o limite da expressão
quando
se aproxima de
. Isso envolve conceitos de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar reescrever essas funções em termos de seno e cosseno e possivelmente usar algumas regras de limites para tratar a forma
que aparece.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as funções
e
em termos de seno e cosseno:
Substituindo essas expressões na nossa limitação:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite:
Observando os valores das funções trigonométricas em
:
-
, então . -
, então .
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 4
Quando encontramos uma forma indeterminada
, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite passa a ser:
Passo 6
Agora, vamos calcular esse novo limite. Sabemos que:
Então:
Resposta
O limite
é igual a
.
Exercícios relacionados
Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
para
. Considere a densidade sendo igual a uma constante
. Calcular: a) a massa da lâmina;
Calcule os limites da forma:
Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
para
. Considere a densidade sendo igual a uma constante
. Calcular: b) o centro de massa.
Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.