Calcule os limites da forma: infty-infty
lim x pi2(sec x-tan x)

Passo 1

Vamos entender qual é o desafio aqui. Precisamos calcular o limite da expressão sec x - tan x quando x se aproxima de pi2. Isso envolve conceitos de limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar reescrever essas funções em termos de seno e cosseno e possivelmente usar algumas regras de limites para tratar a forma infty - infty que aparece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as funções sec x e tan x em termos de seno e cosseno:
sec x = 1cos x e tan x = sin xcos x
Substituindo essas expressões na nossa limitação:
sec x - tan x = 1cos x - sin xcos x = 1 - sin xcos x

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite:
limx pi2 1 - sin xcos x
Observando os valores das funções trigonométricas em x = pi2:
  • sin(pi2) = 1, então 1 - sin x 0.
  • cos(pi2) = 0, então cos x 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo 00.

Passo 4

Quando encontramos uma forma indeterminada 00, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
Derivada do numerador 1 - sin x:
ddx(1 - sin x) = -cos x
Derivada do denominador cos x:
ddx(cos x) = -sin x

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hospital, o limite passa a ser:
limx pi2 -cos x- sin x = limx pi2 cos xsin x

Passo 6

Agora, vamos calcular esse novo limite. Sabemos que:
  • cos(pi2) = 0
  • sin(pi2) = 1
Então:
limx pi2 cos xsin x = 01 = 0

Resposta

O limite limx pi2(sec x - tan x) é igual a 0.

Exercícios relacionados

Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
y^2/4 + x^2/25 = 1 e y^2/4 + x^2/9 = 1
para y ≥ 0. Considere a densidade sendo igual a uma constante K. Calcular: a) a massa da lâmina;
Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty lim x 3 e^x-e^3x-3
Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
y^2/4 + x^2/25 = 1 e y^2/4 + x^2/9 = 1
para y ≥ 0. Considere a densidade sendo igual a uma constante K. Calcular: b) o centro de massa.
Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos. y = x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 + 16 x - 5