Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos. y = x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 + 16 x - 5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e queremos encontrar seus pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a curva muda de concavidade, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função e analisar onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, precisamos resolver a equação :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar:
Então, as soluções são e .

Passo 6

Precisamos verificar se a segunda derivada realmente muda de sinal nesses pontos. Vamos testar valores em torno de e :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Vemos que a segunda derivada muda de positivo para negativo em e de negativo para positivo em . Isso confirma que esses pontos são pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos de inflexão da curva são em e .

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