Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos. y = x^4 - 8 x^3 + 18 x^2 + 16 x - 5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função e queremos encontrar seus pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a curva muda de concavidade, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função e analisar onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:

Passo 4

Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, precisamos resolver a equação :
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar:
Então, as soluções são e .

Passo 6

Precisamos verificar se a segunda derivada realmente muda de sinal nesses pontos. Vamos testar valores em torno de e :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
  • Para , por exemplo, :
Vemos que a segunda derivada muda de positivo para negativo em e de negativo para positivo em . Isso confirma que esses pontos são pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos de inflexão da curva são em e .

Exercícios relacionados

Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
y^2/4 + x^2/25 = 1 e y^2/4 + x^2/9 = 1
para y ≥ 0. Considere a densidade sendo igual a uma constante K. Calcular: b) o centro de massa.
Calcule os limites da forma: infty-infty
lim x pi2(sec x-tan x)
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo. y = x * e^x
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c em (a, b) tal que
f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)
f(x) = x^(2/3), com a = 0 e b = 1