Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar seus pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a curva muda de concavidade, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função e analisar onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, precisamos resolver a equação
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Passo 6
Precisamos verificar se a segunda derivada realmente muda de sinal nesses pontos. Vamos testar valores em torno de
e
:
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Vemos que a segunda derivada muda de positivo para negativo em
e de negativo para positivo em
. Isso confirma que esses pontos são pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão da curva são em
e
.
Exercícios relacionados
Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
para
. Considere a densidade sendo igual a uma constante
. Calcular: b) o centro de massa.
Calcule os limites da forma:
Determine os intervalos no qual as curvas dadas pelas expressões abaixo têm concavidade voltada para cima ou para baixo.
Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de
tal que