Determine os pontos de inflexão das curvas abaixos.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar seus pontos de inflexão. Pontos de inflexão são onde a curva muda de concavidade, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função e analisar onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada da função. A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto. A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que nos ajuda a determinar a concavidade da curva. A segunda derivada é a derivada da primeira derivada:
Passo 4
Para encontrar os possíveis pontos de inflexão, precisamos resolver a equação
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Passo 6
Precisamos verificar se a segunda derivada realmente muda de sinal nesses pontos. Vamos testar valores em torno de
e
:
-
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, : -
Para
, por exemplo, :
Vemos que a segunda derivada muda de positivo para negativo em
e de negativo para positivo em
. Isso confirma que esses pontos são pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão da curva são em
e
.