Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
y^2/4 + x^2/25 = 1 e y^2/4 + x^2/9 = 1
para y ≥ 0. Considere a densidade sendo igual a uma constante K. Calcular: a) a massa da lâmina;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina plana que está delimitada por duas curvas elípticas:
onde consideramos apenas a parte superior dessas curvas, ou seja, para . A densidade da lâmina é constante e igual a . Nosso objetivo é calcular a massa dessa lâmina.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas para encontrar a área da região delimitada pelas curvas e, depois, multiplicar essa área pela densidade constante para encontrar a massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas. Ambas são equações de elipses centradas na origem, mas com diferentes comprimentos nos eixos. A equação geral de uma elipse é:
onde é o semi-eixo maior (horizontal, se ) e é o semi-eixo menor.
Para a primeira equação:
temos e .
Para a segunda equação:
temos e .
Isso significa que a primeira elipse é mais “larga” no eixo x que a segunda.

Passo 3

Como queremos a região para , estamos interessados apenas na parte superior das elipses. Para visualizar, imagine duas elipses acima do eixo x, uma maior e outra menor. A região cuja massa queremos calcular está entre essas duas elipses.
Para encontrar essa área, podemos subtrair as áreas das duas elipses superiores.

Passo 4

A área de uma elipse completa é dada por:
Á
Como estamos considerando apenas a metade superior de cada elipse, a área que nos interessa para cada uma será metade disso:
Á
Para a primeira elipse ( , ):
Á
Para a segunda elipse ( , ):
Á

Passo 5

Agora, queremos a área entre as duas curvas. Isso é simplesmente a diferença entre as duas áreas que calculamos:
ÁãÁÁ

Passo 6

Finalmente, a massa da lâmina �� a área da região multiplicada pela densidade constante :
Áã

Resposta

A massa da lâmina é .

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Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
y^2/4 + x^2/25 = 1 e y^2/4 + x^2/9 = 1
para y ≥ 0. Considere a densidade sendo igual a uma constante K. Calcular: b) o centro de massa.