Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
para
. Considere a densidade sendo igual a uma constante
. Calcular: a) a massa da lâmina;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma lâmina plana que está delimitada por duas curvas elípticas:
onde consideramos apenas a parte superior dessas curvas, ou seja, para
. A densidade da lâmina é constante e igual a
. Nosso objetivo é calcular a massa dessa lâmina.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente integrais duplas para encontrar a área da região delimitada pelas curvas e, depois, multiplicar essa área pela densidade constante
para encontrar a massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas. Ambas são equações de elipses centradas na origem, mas com diferentes comprimentos nos eixos. A equação geral de uma elipse é:
onde
é o semi-eixo maior (horizontal, se
) e
é o semi-eixo menor.
Para a primeira equação:
temos
e
.
Para a segunda equação:
temos
e
.
Isso significa que a primeira elipse é mais “larga” no eixo x que a segunda.
Passo 3
Como queremos a região para
, estamos interessados apenas na parte superior das elipses. Para visualizar, imagine duas elipses acima do eixo x, uma maior e outra menor. A região cuja massa queremos calcular está entre essas duas elipses.
Para encontrar essa área, podemos subtrair as áreas das duas elipses superiores.
Passo 4
A área de uma elipse completa é dada por:
Como estamos considerando apenas a metade superior de cada elipse, a área que nos interessa para cada uma será metade disso:
Para a primeira elipse (
,
):
Para a segunda elipse (
,
):
Passo 5
Agora, queremos a área entre as duas curvas. Isso é simplesmente a diferença entre as duas áreas que calculamos:
Passo 6
Finalmente, a massa da lâmina �� a área da região multiplicada pela densidade constante
:
Resposta
A massa da lâmina é
.
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Calcule os limites da forma:
Uma lâmina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas
para
. Considere a densidade sendo igual a uma constante
. Calcular: b) o centro de massa.