Calcule os limites g lim x 2 x^2-7 x+10x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é basicamente encontrar o valor que a expressão se aproxima quando chega bem perto de 2. A gente vai usar conceitos de limites em funções racionais, ou seja, frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para isso, vamos precisar fatorar o polinômio no numerador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar o numerador da fração: x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2) . A ideia é fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 10 e somados dão -7. Esses números são -5 e -2, então podemos escrever:

Passo 3

Agora, substituímos o numerador fatorado na expressão original do limite:
x^2 - 7x + 10x - 2 = (x - 5)(x - 2)x - 2
Perceba que o termo está tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo, desde que , o que é válido porque estamos analisando o comportamento perto de 2, mas não exatamente em 2.

Passo 4

Depois de cancelar, a expressão fica bem mais simples:
(x - 5)cancel(x - 2)cancelx - 2 = x - 5
Agora, para encontrar o limite quando x - 5 com x = 2 Rightarrow 2 - 5 = -3 se aproxima de 2, simplesmente substituímos 2 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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