integral sech^2(t) tanh ^5(t) d t;

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral . A matéria aqui envolve funções hiperbólicas e integração por substituição. Vamos precisar lembrar como as funções e se relacionam e como fazer uma substituição adequada para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . A derivada de é , então .

Passo 3

Com a substituição, a integral original fica em termos de integral sech^2(t) tanh^5(t) , dt = integral u^5 , du :
Isso simplifica bastante a integral, pois agora temos uma potência de .

Passo 4

Agora, vamos integrar integral u^5 , du = u^66 + C em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, vamos voltar para a variável original (tanh(t))^66 + C substituindo :

Resposta

tanh^6(t)6 + C

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