integral coth^2(3 z) d z;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo de integrais e funções hiperbólicas, especificamente a função . Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções hiperbólicas e usar uma substituição simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade importante das funções hiperbólicas:
coth^2(x) = 1 + csch^2(x)
Isso significa que podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, substituímos na integral:
integral coth^2(3z) , dz = integral (1 + csch^2(3z)) , dz
Isso divide a integral em duas partes mais simples.

Passo 4

Vamos integrar cada parte separadamente:
integral 1 , dz = z
E para a segunda parte, usamos a integral padrão:
integral csch^2(3z) , dz
Sabemos que .

Passo 5

Precisamos fazer uma substituição para integrar integral csch^2(3z) , dz = 13 integral csch^2(u) , du = 13 (-coth(u)) + C = -13 coth(3z) + C . Seja , então ou . Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
integral coth^2(3z) , dz = z - 13 coth(3z) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral z - 13 coth(3z) + C é igual a:

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