Seja f(k, n)=sumi=k^n 1 / i definido para n >= k. Prove que sumi=1^n f(i, n)=n para todo inteiro n >= 1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função definida para . A questão quer que a gente prove que para todo número inteiro .
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de somatórios e manipulação de séries. Vamos resolver isso passo a passo para ficar fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir a expressão sumi=1^n f(i, n) = sumi=1^n ( sumj=i^n 1j ) . Sabemos que . Então, substituindo isso na soma principal, temos:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as somas. Podemos inverter a ordem de soma para facilitar a conta. Isso significa que vamos somar sobre sumi=1^n ( sumj=i^n 1j ) = sumj=1^n ( sumi=1^j 1j ) primeiro e depois sobre :

Passo 4

Observe que dentro da soma interna, sumi=1^j 1j = 1j times j = 1 é uma constante em relação a . Portanto, podemos simplificar a soma interna multiplicando pelo número de termos, que é :

Passo 5

Substituindo isso de volta na soma externa, temos:
sumj=1^n 1 = n
Isso significa que a soma total é igual a .

Resposta

Portanto, para todo inteiro .

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