Seja
definido para
. Prove que
para todo inteiro
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A gente tem uma função
definida para
. A questão quer que a gente prove que
para todo número inteiro
.
Aqui, vamos precisar usar conhecimentos de somatórios e manipulação de séries. Vamos resolver isso passo a passo para ficar fácil de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir a expressão
. Sabemos que
. Então, substituindo isso na soma principal, temos:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as somas. Podemos inverter a ordem de soma para facilitar a conta. Isso significa que vamos somar sobre
primeiro e depois sobre
:
Passo 4
Observe que dentro da soma interna,
é uma constante em relação a
. Portanto, podemos simplificar a soma interna multiplicando
pelo número de termos, que é
:
Passo 5
Substituindo isso de volta na soma externa, temos:
Isso significa que a soma total é igual a
.
Resposta
Portanto,
para todo inteiro
.