Calcule os limites laterais
. Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para
.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites laterais de uma função
quando
se aproxima de
por valores menores (
) e maiores (
) do que -2. Depois, vamos ver se dá pra encontrar um limite único para
. Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais e analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
se possível. Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
Para fatorar, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1.
Então:
Denominador:
Aqui, reconhecemos que é um trinômio quadrado perfeito:
Então, a função simplificada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de -2 pela esquerda (
) e pela direita (
).
Primeiro, analisamos o comportamento de
perto de
:
- Quando
se aproxima de -2 pela esquerda ( ), é ligeiramente negativo. - Quando
se aproxima de -2 pela direita ( ), é ligeiramente positivo.
Vamos substituir
na função simplificada:
Isso indica que estamos lidando com uma forma indefinida, então precisamos analisar os limites laterais.
Passo 4
Calculando
:
Substituímos
por valores próximos a -2 pela esquerda:
-
é negativo, mas é sempre positivo. - O numerador
ao substituir valores próximos a -2 dá:
Então:
Portanto:
Passo 5
Calculando
:
Substituímos
por valores próximos a -2 pela direita:
-
é positivo, e continua positivo. - O numerador
ao substituir valores próximos a -2 dá:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos verificar se é possível escrever um limite único para
.
Como os limites laterais são iguais e ambos tendem a
, podemos concluir que:
Isso significa que a função cresce indefinidamente quando
se aproxima de -2, tanto pela esquerda quanto pela direita.
Resposta
Os limites laterais de
quando
se aproxima de -2 são ambos iguais a
. Portanto, o limite único é:
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. Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para
.
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