Calcule os limites laterais . Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para .
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites laterais de uma função quando se aproxima de por valores menores ( ) e maiores ( ) do que -2. Depois, vamos ver se dá pra encontrar um limite único para . Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função se possível. Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador:
Para fatorar, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1.
Então:
Denominador:
Aqui, reconhecemos que é um trinômio quadrado perfeito:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de -2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Primeiro, analisamos o comportamento de perto de :
  • Quando se aproxima de -2 pela esquerda ( ), é ligeiramente negativo.
  • Quando se aproxima de -2 pela direita ( ), é ligeiramente positivo.
Vamos substituir na função simplificada:
Isso indica que estamos lidando com uma forma indefinida, então precisamos analisar os limites laterais.

Passo 4

Calculando :
Substituímos por valores próximos a -2 pela esquerda:
  • é negativo, mas é sempre positivo.
  • O numerador ao substituir valores próximos a -2 dá:
Então:
Portanto:

Passo 5

Calculando :
Substituímos por valores próximos a -2 pela direita:
  • é positivo, e continua positivo.
  • O numerador ao substituir valores próximos a -2 dá:
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos verificar se é possível escrever um limite único para .
Como os limites laterais são iguais e ambos tendem a , podemos concluir que:
Isso significa que a função cresce indefinidamente quando se aproxima de -2, tanto pela esquerda quanto pela direita.

Resposta

Os limites laterais de quando se aproxima de -2 são ambos iguais a . Portanto, o limite único é:

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