Calcule os limites laterais lim x p^- f(x) e lim x p^+ f(x). Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para lim x p f(x).
(i) f(x)=x^2-x-2x^2+4 x+4 ; p=-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites laterais de uma função quando se aproxima de por valores menores ( ) e maiores ( ) do que -2. Depois, vamos ver se dá pra encontrar um limite único para . Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais e analisar o comportamento da função perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) se possível. Vamos fatorar o numerador e o denominador.
Numerador: x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2
Para fatorar, buscamos dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e 1.
Então:
f(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 2)^2
Denominador:
Aqui, reconhecemos que é um trinômio quadrado perfeito:
Então, a função simplificada fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = (-2 - 2)(-2 + 1)(-2 + 2)^2 = (-4)(-1)0 se aproxima de -2 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Primeiro, analisamos o comportamento de perto de :
  • Quando se aproxima de -2 pela esquerda ( ), é ligeiramente negativo.
  • Quando se aproxima de -2 pela direita ( ), é ligeiramente positivo.
Vamos substituir na função simplificada:
Isso indica que estamos lidando com uma forma indefinida, então precisamos analisar os limites laterais.

Passo 4

Calculando (x - 2) approx -4, (x + 1) approx -1 :
Substituímos f(x) approx (-4)(-1)(0^+)^2 = 40^+ = +infty por valores próximos a -2 pela esquerda:
  • limx to -2^- f(x) = +infty é negativo, mas é sempre positivo.
  • O numerador ao substituir valores próximos a -2 dá:
Então:
Portanto:

Passo 5

Calculando (x - 2) approx -4, (x + 1) approx -1 :
Substituímos f(x) approx (-4)(-1)(0^+)^2 = 40^+ = +infty por valores próximos a -2 pela direita:
  • limx to -2^+ f(x) = +infty é positivo, e continua positivo.
  • O numerador ao substituir valores próximos a -2 dá:
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos verificar se é possível escrever um limite único para limx to -2 f(x) = +infty .
Como os limites laterais são iguais e ambos tendem a , podemos concluir que:
Isso significa que a função cresce indefinidamente quando se aproxima de -2, tanto pela esquerda quanto pela direita.

Resposta

Os limites laterais de limx to -2 f(x) = +infty quando se aproxima de -2 são ambos iguais a . Portanto, o limite único é:

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