Encontre os limites das funções com radicais.
(h) lim x 5^- x-5raiz2 x-1-raizx+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Isso está entrando no campo dos limites de funções com radicais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar os radicais do denominador.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando se aproxima de 5, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero. Isso nos leva a uma indeterminação do tipo , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Uma técnica útil para lidar com radicais no denominador é a racionalização. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do denominador. No nosso caso, a conjugada de é .

Passo 4

Multiplicando o numerador e o denominador pela conjugada, temos:
x-5raiz2x - 1 - raizx + 4 times raiz2x - 1 + raizx + 4raiz2x - 1 + raizx + 4

Passo 5

No denominador, aplicamos a identidade (raiz2x - 1)^2 - (raizx + 4)^2 = (2x - 1) - (x + 4) = 2x - 1 - x - 4 = x - 5 . Então:

Passo 6

Agora, a expressão fica:
(x - 5)(raiz2x - 1 + raizx + 4)x - 5
Podemos simplificar o termo raiz2x - 1 + raizx + 4 no numerador e no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo raiz2(5) - 1 + raiz5 + 4 = raiz10 - 1 + raiz9 = raiz9 + 3 = 3 + 3 = 6 por 5:

Resposta

O limite é igual a 6.

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