Calcule os limites: lim x -2 x^4+4 x^3+x^2-12 x-122 x^3+7 x^2+4 x-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x -2 x^4+4 x^3+x^2-12 x-122 x^3+7 x^2+4 x-4
Aqui, estamos lidando com limites na Matemática, especificamente calculando o limite de uma função racional quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para simplificar a expressão, possivelmente fatorando o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir (-2)^4 + 4(-2)^3 + (-2)^2 - 12(-2) - 12 = 16 + (-32) + 4 + 24 - 12 = 0 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
2(-2)^3 + 7(-2)^2 + 4(-2) - 4 = -16 + 28 - 8 - 4 = 0
Denominador:
Então, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero quando . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma , uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador para ver se há fatores comuns que podemos cancelar. Vamos verificar se é um fator tanto do numerador quanto do denominador, já que estamos avaliando o limite quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos começar fatorando o numerador x^4+4x^3+x^2-12x-12 = (x + 2)(x^3 + 2x^2 - 3x - 6) .
Podemos usar a divisão sintética ou tentar encontrar raízes racionais. Sabemos que (-2)^3 + 2(-2)^2 - 3(-2) - 6 = -8 + 8 + 6 - 6 = 0 é uma raiz, então x^3 + 2x^2 - 3x - 6 = (x + 2)(x^2 - 0x - 3) = (x + 2)(x^2 - 3) é um fator.
Dividindo o numerador por (x + 2)^2 (x^2 - 3) :
2x^3+7x^2+4x-4 = (x + 2)(2x^2 + 3x - 2)
Agora, fatoramos mais o polinômio resultante 2x^2 + 3x - 2 = 2x^2 + 4x - x - 2 = (2x^2 + 4x) + (-x - 2) = 2x(x + 2) -1(x + 2) = (2x -1)(x + 2) . Novamente, testamos (x + 2)(2x - 1)(x + 2) = (x + 2)^2 (2x - 1) :
Então, é um fator novamente:
Portanto, o numerador completamente fatorado é:
Agora, vamos fatorar o denominador .
Sabemos que é uma raiz, então é um fator.
Dividindo o denominador por :
Usando a divisão polinomial ou sintética, temos:
Agora, vamos fatorar :
Encontramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então:
Portanto, o denominador completamente fatorado é:

Passo 5

Agora, a expressão do limite ficaria assim:
lim x -2 (x + 2)^2 (x^2 - 3)(x + 2)^2 (2x - 1)
Podemos cancelar os fatores comuns lim x -2 x^2 - 32x - 1 no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, substituímos (-2)^2 - 32(-2) - 1 = 4 - 3-4 - 1 = 1-5 = -15 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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