Calcule os limites:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites na Matemática, especificamente calculando o limite de uma função racional quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar usar álgebra para simplificar a expressão, possivelmente fatorando o numerador e o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na expressão para ver o que acontece:
Numerador:
Denominador:
Então, tanto o numerador quanto o denominador se tornam zero quando . Isso nos dá uma forma indeterminada do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma , uma boa estratégia é fatorar o numerador e o denominador para ver se há fatores comuns que podemos cancelar. Vamos verificar se é um fator tanto do numerador quanto do denominador, já que estamos avaliando o limite quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos começar fatorando o numerador .
Podemos usar a divisão sintética ou tentar encontrar raízes racionais. Sabemos que é uma raiz, então é um fator.
Dividindo o numerador por :
Agora, fatoramos mais o polinômio resultante . Novamente, testamos :
Então, é um fator novamente:
Portanto, o numerador completamente fatorado é:
Agora, vamos fatorar o denominador .
Sabemos que é uma raiz, então é um fator.
Dividindo o denominador por :
Usando a divisão polinomial ou sintética, temos:
Agora, vamos fatorar :
Encontramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e .
Então:
Portanto, o denominador completamente fatorado é:

Passo 5

Agora, a expressão do limite ficaria assim:
Podemos cancelar os fatores comuns no numerador e no denominador:

Passo 6

Agora, substituímos na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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Calcule os limites:
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