Mostre que a menor distância de um ponto
a uma reta
é:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a menor distância de um ponto
até uma reta
é dada por
Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta usando fórmulas matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre um ponto e uma reta é o comprimento do segmento de linha perpendicular que liga o ponto à reta. Para encontrar essa distância, usamos uma fórmula específica que envolve os coeficientes da equação da reta e as coordenadas do ponto.
Passo 3
A fórmula geral para a distância
de um ponto
a uma reta
é:
Vamos derivar essa fórmula para entender de onde ela vem.
Passo 4
Para derivar a fórmula, consideramos a equação da reta
e o ponto
. A distância perpendicular é a menor distância, então precisamos projetar o vetor que liga
a um ponto qualquer na reta na direção perpendicular à reta.
A direção perpendicular à reta
é dada pelo vetor
. A distância é então o valor absoluto do produto escalar entre
e o vetor posição do ponto
, dividido pelo módulo de
.
Isso resulta na fórmula:
Resposta
Portanto, mostramos que a menor distância de um ponto
à reta
é
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.
Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Calcule os limites:
Calcule os limites: