Mostre que a menor distância de um ponto a uma reta é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que a menor distância de um ponto até uma reta é dada por
Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta usando fórmulas matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre um ponto e uma reta é o comprimento do segmento de linha perpendicular que liga o ponto à reta. Para encontrar essa distância, usamos uma fórmula específica que envolve os coeficientes da equação da reta e as coordenadas do ponto.

Passo 3

A fórmula geral para a distância de um ponto a uma reta é:
Vamos derivar essa fórmula para entender de onde ela vem.

Passo 4

Para derivar a fórmula, consideramos a equação da reta e o ponto . A distância perpendicular é a menor distância, então precisamos projetar o vetor que liga a um ponto qualquer na reta na direção perpendicular à reta.
A direção perpendicular à reta é dada pelo vetor . A distância é então o valor absoluto do produto escalar entre e o vetor posição do ponto , dividido pelo módulo de .
Isso resulta na fórmula:

Resposta

Portanto, mostramos que a menor distância de um ponto à reta é

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Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
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Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
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Calcule os limites:
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