Calcule os limites: lim t 0 raiz6+2 t-raiz6t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim t 0 raiz6+2 t-raiz6t. Esse tipo de problema pertence ao estudo de limites, que é uma parte fundamental do Cálculo Diferencial. Para resolver, a gente vai precisar manipular as expressões algébricas e aplicar algumas técnicas para simplificar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que se substituirmos diretamente t = 0, teríamos raiz6 - raiz60 = 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que precisamos de uma estratégia para simplificar essa expressão e encontrar o valor do limite.

Passo 3

Uma técnica comum para resolver esse tipo de limite é multiplicar e dividir pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz6+2t - raiz6 é raiz6+2t + raiz6. Vamos fazer isso:
raiz6+2 t-raiz6t times raiz6+2 t+raiz6raiz6+2 t+raiz6 = (raiz6+2 t)^2 - (raiz6)^2t (raiz6+2 t+raiz6)

Passo 4

Agora, simplificamos o numerador usando a identidade (a)^2 - (b)^2 = (a - b)(a + b):
(raiz6+2 t)^2 - (raiz6)^2 = (6 + 2t) - 6 = 2t
Então, temos:
2tt (raiz6+2 t+raiz6)

Passo 5

Agora, podemos cancelar o t no numerador e no denominador:
2raiz6+2 t+raiz6

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo t = 0:
2raiz6+0+raiz6 = 2raiz6 + raiz6 = 22raiz6 = 1raiz6

Resposta

O limite é 1raiz6.

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