Faça o gráfico da função f(x)=x+x|x|. A seguir, calcule: lim x 0 f(x), caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde precisamos fazer o gráfico da função e depois calcular o limite de quando se aproxima de 0, caso esse limite exista. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções, valores absolutos e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função x|x| = xx = 1 . A parte f(x) = x + 1 depende do sinal de x|x| = x-x = -1 . Vamos dividir a função em duas partes, dependendo se f(x) = x - 1 é positivo ou negativo.
  • Para :
    Sabemos que , então:
    Portanto, a função fica:
  • Para :
    Aqui, (porque é negativo), então:
    Assim, a função se torna:

Passo 3

Agora, vamos fazer o gráfico da função baseada nas duas partes que encontramos:
  • Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 1.
  • Para : A função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em -1.
No ponto , a função não está definida porque teríamos uma divisão por zero ( ). Então, no gráfico, haverá uma descontinuidade nesse ponto.

Passo 4

Vamos calcular o limite de limx to 0^+ f(x) = 0 + 1 = 1 quando limx to 0^- f(x) = 0 - 1 = -1 se aproxima de 0, verificando os limites laterais:
  • Limite pela direita ( ):
    Quando se aproxima de 0 pelo lado positivo, usamos :
  • Limite pela esquerda ( ):
    Quando se aproxima de 0 pelo lado negativo, usamos :

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes: pela direita e pela esquerda.

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